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另外，因为
根据Cauchy—Riemann方程有：
于是有 。即 是一个调和函数，同理， 也是一调和函数，同时，它们都是次调和函数。
然后我们来看 时，令
当 时，根据 是一个调和函数， 是一个次调和函数，可知 也是一次调和函数，故其在边界上取最大值。
当 时，令
同上，由于 是一调和函数， 是一次调和函数，知 在边界上能取最大值，从而 在边界上能取最小值。
至此，证毕。
同时，还有对定理2.4.2做出的一些推广。
定理2.4.4 若 是区域 内的次调和函数，对于 的每一点 ，有
则在 内 ；若在 内有一点使等式成立，则 。
定理2.4.5 若 是区域 内的有界次调和函数，在 上除去 外的每一点 ，有
则在 内 ；若在 内有一点使等式成立，则 。
定理2.4.6 若 是区域 内的次调和函数， 是 内的调和函数；且对于 上的每一点 ，有
，
则在 内 ；若在 内有一点使等式成立，则 。 称为 的调和控制函数。
为了解决Dirichlet问题，我们要用到次调和函数的性质。下面，我们将利用次调和函数来构造Perron族。
设 是定义在域 的边界 上的连续实函数， 。 是具有下述性质的函数 的函数族：
（1） 在 内是次调和的；
（2）对于每一点 ，
易见，小于等于 的常数函数均在 内，所以 是非空的。
同时，我们令 ，并称 为关于 的Perron函数。
此外，上述Perron函数在 内是调和函数，这在文献 中有叙述，我们在后面会用到这个性质。
3 调和函数的边值问题
这一章主要综述调和函数的边值问题，包括Dirichlet问题的有解性及一般解，还有Riemann问题。
本章的主要结构如下
探究Dirichlet问题的有解性及给出Dirichlet区域；
运用Green函数求解Dirichlet问题；
③讨论调和函数的Riemann边值问题；
3.1 Dirichlet问题有解的充分条件
本节将给出Dirichlet问题的定义并给出其有解的充分条件。另外，根据充分条件导出的闸函数，我们给出了一般的Dirichlet区域，即在这个区域上的Dirichlet问题是有解的。
Laplace方程 的通解，就是全体调和函数。为了确定Laplace方程的一个解，需要一些附加的条件，而这类条件中最简单的一种，就是Dirichlet问题：
求出一个在区域 内调和并且在 上连续的函数 ，使它在 上取已知值 ：
根据极值原理，如果函数 存在，它一定是唯一的。
设在区域 的边界 上给定连续实函数，那么，关于 的Perron函数 在 内调和。因此如果区域 的Dirichlet问题有解，记为 ，那么必定会有 ，故 。另一方面，对于任意 及 上的每一点 ，有
.
根据上章的定理4.6， 是 的调和控制函数， ，从而有 。所以， 。
总之，如果Dirichlet问题有解，则它的解 一定是关于 的Perron函数 。所以，如果Dirichlet问题有解，等价于：对 上的每一点 ， 存在且等于 。但这不总是成立的，所以需要寻求Dirichlet问题可解的条件，下面就是 的充分条件。
定理3.1.1 若存在区域 内的调和函数 ，它的边值 是连续的，且除去 外是正的，在 处 ，则
，
其中 在 上连续， 是关于 的Perron函数。
证 任给 ，取 ，使得当 时， ，这里 表示圆 ，且根据 的连续性， 总是可以取到的。
设 是 上 的最小值，由于边值 除去 外都是正的，故 。考虑函数