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偏微分方程包括弦振动方程，热传导方程，拉普拉斯方程，特里谷米方程等。其中，拉普拉斯方程的解就是调和函数，在很多邻域中起着重要的作用 。
调和函数是复变函数论 中的概念。调和函数与解析函数有某些类似的性质，本文的目的之一便是讨论调和函数的性质。另外，偏微分方程的求解能用来推动各学科的发展，本文也会讨论调和函数的一些边值问题，即属调和函数的应用范畴。
另外，本文是一篇综述型论文。
2 调和函数的性质
这一章主要是了解一些关于调和函数的预备知识，方便后面对Dirichlet问题等的探讨。
这一章节的研究中，主要碰到了将极值原理推广到一些特殊函数上的困难，为了克服这个困难，结合了次调和函数的最值原理。同时，根据研究得出，调和函数序列在减弱条件下的收敛性质不成立。
本章的主要结构如下
给出调和函数的定义及讨论二元调和函数与解析函数的联系；
给出调和函数的极值原理；
③研究调和函数序列的收敛性质；
④讨论次调和函数的最值原理及讨论Perron族。
2.1 调和函数
调和函数是一种定义在实欧氏空间开集上的一类函数，为了方便后面的探讨，我们先给出它的定义。
定义2.1.1 设 元函数 是一定义在 上的二次连续可微函数， 在 上调和当且仅当
其中 ， 表示对第 个变量的二阶偏导数 。
在本文中，如无特殊说明，我们均假定调和函数是二元且实值的。
根据解析函数论，我们知道，在区域 内解析的函数具有任意阶导数。因此，在区域 内，它的实部 与虚部 都有两阶连续偏导数，且有如下性质。
设 在区域 内解析，则由 方程即
因 与 在 内连续，它们必定相等，故在 内有
同理，在 内有
根据调和函数的定义，我们知道 及 都是 内调和函数。
定义2.1.2 在区域 内满足 方程
的两个调和函数 ， 中， 称为 在区域 内的共轭调和函数。
根据定义2.1.2，对任意定义在单连通区域 中的调和函数 ，都存在一系列调和函数 ，使 是 内的解析函数。
另外，文献 中还提到了求解共轭调和函数的方法。
2.2 调和函数极值原理
根据Cauchy积分公式 可知，解析函数具有平均值性质。类似的，调和函数也有平均值定理，本节的主要内容就是运用平均值定理来证明调和函数的极值原理。
平均值定理2.2.1 如果函数 在圆 内是一个调和函数，在闭圆 上连续，则
，
即 在圆心 的值等于它在圆周上的值的算术平均数。
下面运用平均值定理来证明调和函数的极值原理。
极值原理2.2.2 设 在区域 内是调和函数，且不恒等于常数，则 在 的内点处不能达到最大值或最小值。
证 如若不然，假设 在 的内部 处取得最大值，即在 内的某一个圆 内，有 。
另外，根据调和函数平均值定理，有
因为 的连续性，可知在 内， 。运用滚圆法可知在 的恒有 ，矛盾。
同理，可证 在 的内部无法取到最小值。证毕。
由此，根据文献 也有下面的推论形式：
推论2.2.3 设（1） 在有界区域 内调和，在 上连续；（2）沿边界 常有 ，则除 为常数的情形外，在 内一切点处必常有 。即，如 非常数，则 在 内不能达到最大值 ，而只能在边界上达到。