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摘 要：多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，计算多元函数条件极值的的方法有很多，比如:方向导数法、不等式法、代入法、拉格朗日乘数法、黑塞矩阵法。本文首先介绍极值和条件极值的定义，然后分别介绍上面所提到的几种计算解多元函数条件极值的方法，最后结合实际情况，运用这些方法解决问题。31182
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关键词：多元函数；条件极值；计算方法；
Multivariate Conditional Extremum of Function and Its Application
Abstract:The condition of extremum value of multivariate function is an important part of the multivariate function differential,There are many methods for solving the extreme condition of multivariate function,For example: the double direction derivative method, inequality method, substitution method, Lagrange multiplier method, Hesse matrix method.This paper first introduces the definition of extremum and conditional extremum,Then introduce several solving conditional extremum value of multivariate function mentioned above,Based on the actual situation, the use of these methods to solve the problem.
Key Words: Function of several variables;Extremum with a condition;
Solving method;
目 录
摘要 1
引言2
1 极值及条件极值的定义3
2 多元函数条件极值的计算方法3
2.1拉格朗日乘数法.3
2.2代入法.6
2.3黑赛矩阵法6
2.4不等式法.8
2.5方向导数法.10
3 多元函数条件极值计算方法的应用 13
结束语 15
参考文献 16
致谢 17
多元函数条件极值的计算及其应用
引言
条件极值是数学分析中的重要内容,也是多元函数微分学的重要组成部分,它在实际生活中有着广泛的应用．比如在经济生产中求最大效益问题,在工程计算中求最值问题等等．多元函数条件极值也极大的激发了学生学习数学分析的兴趣,培养了学生的创新思文能力,因此多元函数条件极值的计算方法就显得尤为重要,为了解决这个问题,教材只给出了拉格朗日乘数法,并没有给出其他计算方法的探讨．
很多文献都对多元函数条件极值的计算方法进行了探讨．如文献[1][2][3]都给出了拉格朗日乘数法去计算条件极值;文献[4]用黑塞矩阵去判断多元函数条件极值;文献[5]给出了用方向导数法去计算条件极值;文献[6][7][8]也都给出了条件极值的几种计算方法;文献[9][10]给出了计算条件极值注意的问题并结合具体的例题分析了这些解法．
在前人研究的基础上,本人通过阅读大量的参考文献,搜集了大量的习题,通过认真演算,并对这些条件极值的计算方法进行系统的归纳和总结．由于本文的主要内容是列举多元函数条件极值的计算方法,所以,本文是以大量的理论知识结合例题进行讲解说明． 具有一定的理论意义和实践价值．
1极值及条件极值的定义
这里以二元函数为例进行讨论．
定义 设函数 在点 的某一邻域 内有定义．若对于任意点 ,有如下不等式成立
（或 ）,
则称函数 在点 取得极大（或极小）值,称点 为 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点．
在讨论极值问题时,对于函数的自变量,除了限制在函数的定义域内以外,并没有其他限制条件,所以有时候称这类问题为无条件极值问题．但在一些实际问题中,常常会遇到对函数自变量还有附加条件的极值问题．例如,求表面积为 而体积为最大的长方体的体积问题．设长方体的三棱的长为 ,则