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摘要:矩阵的迹在高等代数的课程中有着重要的地位，而且矩阵的迹与矩阵的特征值有着密切的关系.本文首先介绍了矩阵的迹的定义，然后给出了矩阵的迹的一些性质以及部分性质的详细证明，最后结合实例说明这些矩阵的迹的在解题中的具体运用.34224
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毕业论文关键词：矩阵的迹; 特征值；正定矩阵
Matrix Trace and Its Application
Abstract: the trace of matrix in the "advanced algebra" teaching material has an important position, and the characteristic value of matrix trace and matrix has a close relationship. This article first introduces the definition of matrix trace, and then gives some properties of matrix trace prove in detail, and some of the properties of the final combined with the example is given to illustrate the matrix trace in the concrete application of problem solving
Key words: matrix trace;The eigenvalue
目 录
摘要 1
引言 2
1.预备知识 2
2.矩阵迹的一些性质 3
3.矩阵的迹在解题中的应用 6
结束语 12
参考文献 14
致 谢 15
矩阵的迹及其应用引言
矩阵的迹是矩阵中的一个基本概念，同时也是矩阵中重要的数值特征之一.另外它和矩阵的特征值和特征向量等都存在着密切的联系.因此学好矩阵的迹能够为我们的代数研究打下良好的基础，随着矩阵的迹的理论的发展.关于矩阵的迹的新结果层出不穷.这些矩阵的迹的性质在自然科学、工程理论研究和工程技术中都有着广泛的应用.所以对矩阵的迹的性质进行归纳总结，并在此基础上研究实际应用.具有一定的理论价值和应用价值.
已经有很多的参考文献对矩阵的迹的性质及应用进行了研究.文献[4]研究了矩阵的迹的基本性质和应用；文献[1]给出了矩阵的迹在工程中的应用，文献[2]给出了矩阵的迹的性质在测绘中的应用；文献[10]是一片外国论文，介绍了矩阵的迹在自然科学中的应用.
本文在上述文献的基础上对矩阵的迹的基本性质和应用做了更深一步的分析，给出了矩阵的迹的性质在矩阵的行列式求值、矩阵正定的判定、矩阵的特征值计算中的新应用，并结合实例说明了这些性质的具体应用.
1 预备知识
定义1.1[1] 如果一个矩阵是方阵，记这个方阵为 ，那么 的全部对角元素的和就是 的的迹，记为 .由矩阵的迹的定义我们可知道所有的方阵都是有迹的，那么给出一个方阵 我们就可以根据矩阵的迹的性质得到这个方阵 的迹 ，其中 为 的特征值.
定义1.2[2] 行列式
称为 阶范德蒙德行列式.对于任意的 ， 级范德蒙德行列式等于 ,这 个数的所有可能的差 的乘积.
定义1.3[2] 设 是数域 上线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中一数 ，存在一个非零向量 ，使得 ，那么 称为 的一个特征值，而 称为 的属于特征值 的一个特征向量.
定义1.4[3] 设 复数域上线性空间 的一个线性变换，则在 中必定存在一组基，使 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.称为 的若尔当标准形.
定义1.5[4] 设 是 阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 ，都有 ，其中 表示的是 的转置矩阵，那么就称 是正定矩阵.