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则称 是 的一个特征值,向量 为矩阵 关于特征值 的特征向量.
定义1.2 设 是定义在数域 上线性空间 的一个线性变换.如果对于数域 中的一个数 ,存在一个非零向量 ,使得
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则 就是 的一个特征值,而 是 的属于特征根 的一个特征向量.
定义1.3 设 是一个未知数,矩阵 称为矩阵 的特征矩阵,行列式 称为 的特征多项式,方程 称为 的特征方程,它的根称为 的特征根.给定的数域若为实数域, 的特征根即为 的特征值.
定理 1.1 对于 中任意两个多项式 与 , 其中 , 一定有 中的多项式 , 存在, 使
成立, 其中 的阶小于 的阶或者 , 并且这样的 , 是唯一决定的.
2.矩阵的特征值与特征向量的基本性质
性质2.1 若 为 的属于特征值 的特征向量,取 ,如果
,则 为 的属于 的特征向量.
性质2.2 一个特征值可以对应多个特征向量,但一个特征向量只能对应一个特征值.
性质2.3 若 为 阶矩阵 的特征值,则 为 的特征值,当矩阵 可逆时, 为 的特征值.
推论1 若 为 阶可逆矩阵 的特征值,则 为 的特征值.
推论2 若 为 的特征值,则 为 的特征值; 为 的特征值,其中 为 的多项式, 为 的多项式.
性质2.4 设 为 阶方阵, 的 个特征值为 ,则有下式成立
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性质2.5 阶对角形矩阵及上(下)三角形的矩阵的特征值均是其对角线上的各元素.