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摘 要：凸函数是一种性质特别的函数,凸函数在分析学研究过程中涉及了许多数学命题的讨论和应用,本文将诸多文献中的材料加之汇总整理系统化,从凸函数的定义出发,给出了凸函数的等价定义,讨论了连续凸函数的主要性质,并对凸函数的分析性质进行概述.最后讨论了凸函数在不等式的证明,极值, 数项级数敛散性,最优化理论等中的应用.34990
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毕业论文关键词： 凸函数; 不等式; 凸规划
The properties and application of convex function
Abstract: Convex function is a function of a special nature, it involves a lot of discussion and application of mathematical proposition, studies analyzing the numerous documents in the course of collecting and sorting materials combined with systematic, from the definition of convex function is given equivalent definition of convex function, and discuss the main properties of continuous convex function, and an overview analysis of the nature convex function. Finally a convex function in proving inequalities, extreme value, a number of convergence and Divergence, optimization theory etc. applications.
Keywords: Convex function; inequality; convex programming
目 录
摘要 1
引言 2
1.凸函数的定义及等价描述 3
1.1凸函数的定义 3
1.2凸函数的等价定义 3
2 .凸函数的性质 4
2.1 凸函数的一些简单运算性质 4
2.2 凸函数的几种分析性质 4
3.凸函数在不等式中应用 5
3.1 几个重要不等式的证明 5
3.2 凸函数在积分不等式中的应用 8
3.3 凸函数在三角不等式中的应用 10
4.凸函数的其他应用 11
4.1 凸函数在数项级数中的应用 11
4.2凸函数在极值中的应用 12
4.3凸函数在概率方面的应用 13
4.4凸规划 14
参考文献 18
致谢 19
凸函数的性质与应用
引言 凸函数作为一个在数学中比较年轻的分支, 最早是由Jesen提出的, 但是在50年代以后才逐渐发展起来. 我们知道, 函数的凸性是函数在区间上变化的整体形态, 所以, 把握区间的整体性态, 不仅会更加科学准确的描绘函数的图像, 还有助于对函数的定性分析.在凸规划理论尤其是非线性最优化中, 函数的凸性分析具有举足轻重的作用.到目前为止, 凸函数的研究已经从定义到凸性, 再到凸性应用各各方面.对函数凸性的研究, 在数学分析的多个分支及其他领域都有用处, 特别是在函数图像的描绘和不等式的推理等方面, 凸函数有着重要的应用.
由于凸函数涉及许多理论性命题的讨论计算和应用, 例如在数学分析、复分析、泛函分析、运筹学等. 在应用方面, 凸函数作为一类特别函数在微观经济学、运筹学、管理学和工程测绘学等多个领域中都具有较多应用.由于凸函数有良好的几何和代数性质, 在数学凸规划中有着广泛的前景, 许多常见的不等式也是从函数的凸性中推理得出的. 在数理经济学中, 例如, 风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性.因此, 正确理解并运用函数的凸性性质, 提高数学知识的应用能力, 推广数学的应用范围, 使数学研究变得不再枯燥显然迫在眉睫.
虽然凸函数在数学的许多领域中有着广泛的应用, 但是它的局限性也是无法消除的.如何推广函数的凸性概念,使得在更广义的函数范围内更好的运用, 凸函数的许多重要性质仍然得以保留, 所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分有意义了.