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函数的凸性是函数的一个重要性质,具有很好的数学性质, 因此具有重要的研究价值和广泛的应用价值,广泛应用于数学分析,泛函分析,复分析等学科领域, 比如利用函数的凸性证明各种有名的不等式,产品的外形设计,如何使产品的设计更好等.因此,正确理解函数的凸性性质和应用,加深对函数性质的研究, 提高数学知识的应用能力, 推广数学的应用领域和范围.多发现数学研究的美, 使数学研究变得不再枯燥,让数学来源于生活,应用于我们的生活.
1 凸函数的定义及等价描述
1.1凸函数的定义
定义 设 为定义在区间 上的函数, 若任意区间 上任意两点 , 和任意实数 有
则称 在区间 上的凸函数.若上式只有不等式成立, 则称 是严格凸函数.若不等式反向, 即
则称 若上式只有不等号成立, 则称 是严格凹函数.
1.2 凸函数的等价定义
定义 设函数 定义区间 上, 若对 上任意不同的两点 , 有
则称 在区间 上的凸函数.
定义3
则称
定义 设函数 定义在区间 上, 若对 上任意三点 , 下列不等式中任何两个组成的不等式成立,
,
则称 是区间 上的凸函数.
定义 设函数 在区间 上有定义, 若对 上任意 , 有
,
则 称是区间 上的凸函数.
定义 设函数 内连续, 若对任意
定义 设 为定义在 文欧氏空间 中某个凸集 上的函数, 若对任意实数 以及 中的任何两点
则称
2 凸函数的性质
2.1.凸函数的一些简单运算性质
性质1 设 在区间 上为凸函数, 对于任意 .则：
时, 在区间上为凸函数
性质2 设 是区间 上的凸函数, 则其和 也是 上凸函数
性质3 设 是区间 上的凸函数, 则 为区间 上的函数
性质4 若 是奇函数, 且当 时, 是凸（凹)函数, 则当 时,
是凹（凸)函数;若 是偶函数, 且当 时, 是凸（凹)函数, 则当 时, 是凸（凹）函数.
2.2 凸函数的几种分析性质
定理 设 是可微函数, 下面三个命题等价.