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摘 要：本文主要探讨了三种常用的变量代换法—函数变换法、 变换法和 变换法,利用相关性质和定理,分析其在求解不同类型微分方程中的方法和技巧,并结合具体的实例加以说明.
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毕业论文关键词：微分方程；函数变换法； 变换法； 变换法34991
Application of Variable Substitution Method in Solving the Differential Equations
Abstract:This paper mainly discusses the three kinds of common variable substitution method—the function transform method,the Fourier transform method and the Laplace transform method,using the relevant properties and theorems, analyze the methods and techniques in solving differential equations of different types,and connect with the concrete examples to illustrate.
Key words:Differential equations;Function transform method;Fourier transform method; Laplace transform method
目 录
摘 要 1
引言 2
1.基本理论 3
2.函数变换法 5
2.1求解常系数线性微分方程 5
2.2求解变系数线性微分方程 7
3. 变换法 9
3.1求解波动方程初值问题 9
3.2求解热传导方程初值问题 11
4. 变换法 12
4.1求解常微分方程 12
4.2求解偏微分方程 14
参考文献 17
致谢 18
变量代换法在微分方程求解中的应用引言
微分方程是联系着自变量、未知函数以及未知函数的某些导数的关系式.它是数学学科的一个重要分支,在数学、物理、化学乃至生物学中都有着广泛的应用,这就使得对求解微分方程的研究变得尤为重要.对于一些简单的微分方程,采用分离变量法、常数变易法等是很容易求出来的；但是,对于一些形式复杂的微分方程,运用初等积分法来求解,通常过程会相当繁琐,甚至有时会求不出结果.然而借助合适的变量代换法,可将复杂的微分方程化为可解类型,这就大大简化了计算过程,节省了大量的劳力物力.因此,对变量代换法在微分方程求解中的应用的研究具有非常重要的意义.
目前,有很多文献对变量代换法求解微分方程做出过探讨.其中文献[2]通过作函数变换,将 方程化为简单的变量可分离方程,然后求出其解；文献[7]利用 变换法求解热传导方程的定解问题,即通过作 变换,将热传导方程的初值问题转化为常微分方程的初值问题；文献[12]主要介绍了利用 变换法求解常系数线性微分方程,即通过作 变换,将方程化成关于像函数的代数方程,然后求出 逆变换,即可得出原方程的解.
本文正是在文献的基础上,主要针对三种常用的变量代换法——函数变换法、 变换法和 变换法,对其在不同类型微分方程求解中的应用进行分类讨论,并结合具体的实例加以分析,使其更加具体化.
1.基本理论
定理1[1]( 收敛定理) 设 是以 为周期的周期函数,满足 条件：
, 在 上连续或分段连续,且至多只有有限个第一类间断点；
在 上至多有有限个极值点.
那么 的 级数收敛.
定理2[5]( 变换存在性定理) 设函数 在 任何有界区间上分段连续,且当 时, 的增长速度不超过某一个指数型函数,即存在常数 , ,使得
, ,
常数 称为 的增长指数.