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本文主要是对商空间的理论和性质在实践中的应用的探究，通过对教材和相关文献的研究，总结了前人的成果，再加上对已有的理论的分析，进一步阐述了商空间以及其相关性质的应用方法.
1.线性空间的商空间的同态基本定理
前言知识 设 是拓扑空间， 是 的一个等价关系，商集 的（相对于自然投射 而言的）商拓扑 称为 的（相对于等价关系 而言的）商拓扑，拓扑空间 称为拓扑空间 的（相对于等价关系 而言的）商空间.
1.1线性空间的同态
定义1.1[1] 一个 到 的映射 叫做一个对于代数运算 和 的 到 同态映射，如果 具有性质 .
如果 是满射，称为同态漫射，亦称 到 同态；如果 是双射，称为同构映射，亦称 到 同构.
定义1.2[1] 设 和 为数域 上的线性空间.映射 称为 到 的一个同态映射，如果 具有以下性质
(1) .
(2) ,其中 .
对于线性空间的同构，在此就不再详述.
定理 1.1.1[1] 设 是数域 上的线性空间， 是一个非空集合， 上有加法， 和 的元素之间有一个数量乘法, 和 关于它们的加法和数量乘法同态，则 也是数域 上的线性空间.需要注意的是，假如 和 的次序调换，那么定理1不一定成立，换言之，假如 与 同态. 不一定是是线性空间，当然，如果考虑的映射是同构映射， 与 的次序就没有关系了.
定理1.1.2[2] 设 和 是数域 上的线性空间，在同态映射下， 的零元0的像是 的零元， 的元 的负元的像为像为像的负元.
推论 设 和 是数域 上的线性空间，若 与 同构，两个零元互相对应，互相对应的元的负元互相对应.
定理1.1.3[2] 在数域 上,线性空间 和 ，处于同态映射中，
（1） 是 的子空间， 是 的像，则 是 的子空间.
（2） 是 的原像， 是 的子空间，则 是 的子空间.
证明 （1）首先 非空，设 是 到 的同态，对于任意 ，
设 ， 为 中的任意数，则
所以 是 的子空间.
（2）首先 非空，对于任意 , 为 中的任意数，
由于
,
即 ，
故 的子空间是 .
定理1.1.4[2] 关系和组合都不变是同态映射的特点，即线性相关组转化为线性相关组为同态映射的特性.
注 若不附加其他条件，定理1.1.4的逆命题不成立.
1.2同态基本定理
定理1.2.1[1] 商空间 皆与包含其的线性空间 同态.
证明 若 的子空间是 ，则 是商空间，令 ，
显然可得 是 到 的一个满射，
对于任意的 ， 为 中任意数，
有 所以 是同态满射，