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1.矩阵的等价、合同、相似
1.1矩阵的等价关系
1.1.1 矩阵等价关系的概念
定义 1 如果矩阵 可经过有限次初等变换化为 , 则称矩阵 与矩阵 等价,记为 .
矩阵等价的前提条件: 矩阵 与 矩阵必为同型矩阵, 不要求是方阵.
定理 1.1.1 两个 矩阵 等价的充要条件是：存在可逆的 阶矩阵 与可逆的 阶矩阵 , 使 .
定理1.1.2 若 为 矩阵,且 , 则一定存在可逆矩阵 ( 阶)和 （ 阶）, 使得 . 其中 为 阶单位矩阵.
证明 若 ,即为标准形. 假设 .通过初等变化, 必将可以转化为一个左上角不为零的矩阵.
当 时, 进行如下的初等变化,把其余的行减去第一行的 倍, 其余列减去第一列 倍, 然后, 用 乘第一行, 就变成
是一个 的矩阵, 对 再重复上面的初等变化. 就可以得到标准形.
推论 1.1.1 设 、 是两 矩阵, 则 当且仅当 .
1.1.2 矩阵等价关系的性质
（1）反身性: .
（2）对称性: 若 则 .
（3）传递性:若 , 则 .
结论: 秩为等价关系中的不变量.
若按照等价来把矩阵分类, 那么可以分 类, 即 .