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解:依题意有:中矩形公式:
梯形公式:
辛普森公式:
比较结果如下图所示:
表1几种公式的精度比较
准确值 2 2 2.67 4 6.40
中矩形公式计算值 2 2 2 2 2
梯形公式计算值 2 2 4 8 16
辛普森公式计算值 2 2 2.67 4 6.67
从表1中可以看出,当 是 时,辛普森公式比中矩形公式和梯形公式更为精确。
我们易证梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度,辛普森公式有3次代数精度。
定理一:(代数精度和节点数的关系)对于给定的n+1个(相异)节点 ,总存在求积系数 ,使求积公式 至少有n次代数精度。
以代数精度为标准构造求积公式,即由节点数写出求积公式。这种方法称为待定系数法。例如给定两个节点a,b,对应函数值 ,求积公式为
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