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1.预备知识
初等几何变换是将几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的一个过程.而初等几何变换主要包括平移变换、旋转变换、对称变换和相似变换等内容，它们对几何学的研究有着非常重要的作用.
1.1平移变换
在平面内，把任意的一个图形或者一个点按照某个固定的方向移动一定的距离，得到的变换就是平移变换.
平移变换的性质：
（1）图形平移前后的形状和大小没有发生变化，只有位置发生变化.
（2）图形平移前后对应点连成的线段平行且相等.
（3）平移是由平移距离和平移方向两者共同决定的.
（4）经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等.
1.2旋转变换
把一个图形绕着一点 转动一定角度的变换叫做旋转变换， 叫做旋转中心，一定角度叫做旋转角，如果原图上一点 经过旋转后变为 ，那么 与 叫做旋转的对应点.
旋转变换的性质：
（1）旋转前后两图形全等
（2）旋转前后对应点到旋转中心的距离相等
（3）对应点和旋转中心连线构成的夹角等于旋转角
1.3对称变换
由一个平面图形得到它关于直线 对称的图形，这个变换叫做对称变换.由图我们知道，这两个图的大小、形状完全相同.
1.4相似变换
由一个图形到另一个图形，再改变的过程中保持形状不变，大小方向和位置可以改变，这种图形的改变就叫做相似变换.
2.初等几何变换在中学数学解题中的应用
数学的学习离不开解题，而数学能力的培养主要是通过解题来完成的.平移、反射、旋转、相似等几何变换在解题中的应用，有利于开阔学生的解题思路，构建题设与结论之间的联系.正是由于这种变换才使命题的解决能够畅通无阻，从而学生的创新意识和创新能力也能得到锻炼.
2.1平移变换的应用
例1 为平行四边形 内一点，试证明以 、 、 、 为边，可以构成一个凸四边形，其面积恰为平行四边形 面积的二分之一（如图1）.
分析：由于题上要构成一个以 、 、 、
为边出发的四个线段，所以必须将部分线段移动，而不改
变它们的长度.由于题中有平行线，所以可以将 、
平移到 、 处. 图1
证明 过点 和点 作 、 的平行线，交于点 ，使 = ， = 四边形 , 是平行四边形，那么四边形 是一个以 、 、 、 为边的凸四边形 = ， =
又 + = ， =
例2 已知:在四边形 中，对角线 、 相交于点 ， ，且 ，试证： .