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关于线性的二阶常微分方程的求解问题,其中对于变系数的线性微分方程求解比较困难,至今也没有十分有效的方法.除某些特殊的微分方程外,许多方程只能通过幂级数解法去解方程,虽然这种方法在通常情况下是有效,不过却比较复杂,并且求得的解的形式是无穷级数,不利于做进一步理论上的分析.
但是对于常系数的线性微分方程是能够求解的,所以假使经过适当变化可以将变系数的线性微分方程中的系数转化成常数,则问题的解决就方便多了.
1.1线性常微分方程的保线性变换
1.1.1 变换 的保线性性质
可以先设定二阶线性变系数常微分方程的标准形式为 (1)
将方程(1)进行 变换以及对微分的运算,使得原方程可以转化成未知函数 有关自变量 的二阶线性的常微分方程
可以明显看出,通过转化得到的方程还是线性方程,因此可知变换 具有可以保持微分方程的线性不变的性质,即保线性变换.
1.1.2 对方程的自变量求n阶导数线性的不变性
假设变系数的线性二阶常微分方程的一般式为
对方程自变量x求n次导数得
可以看出,方程仍为线性,但已经是(n+2)阶的了.
1.2变系数方程化为常系数方程
对于任何一个变系数的线性二阶常微分方程
(2)
在保证方程的线性不改变的前提下,变系数的二阶线性方程只能根据变换自变量,变换未知函数以及对自变量和未知函数的联合变换三种变换方式来完成方程的常系数化[3,8].
1.2.1 用自变量变换进行常系数化
为了保持方程的线性和齐次性不变,可以令 ,则方程(2)化为
(3)
其中 , , .
可以知道方程(2)通过自变量变换可以保持线性和齐次性不变.如果要使方程能够常系数化,则在方程(3)式中需要同时满足
(4)
(5)
对于方程(4)式和(5)式联立求解,可以得出结论1:
假如方程(2)式能满足判别式
(6)
则通过变换
(7)
可以把方程(2)化为常系数方程
当 时,方程(2)式能够进行常系数化,一般选取常数 使的方程(7)式最为简单,则可以确定常数 .