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摘 要: 本文主要介绍循环矩阵的性质，并围绕这些性质在数学问题中的应用展开论述.文中重点介绍了循环矩阵有关行列式、对角化、逆运算方面的性质，最后通过循环矩阵在求逆计算、行列式的计算、对角化等方面的应用来更好的突显性质.37649
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毕业论文关键词: 循环矩阵； 对角化； 行列式； 伴随矩阵
Research of Properties of Circulant Matrices
Abstract： This paper mainly introduces the properties of circulant matrices, and based on these properties in mathematical problem to discuss the usage. This paper focuses on the introduction of the circulant matrix determinant, diagonalization, the inverse operation of nature, the circulant matrix in inverse calculation, compute the determinant, keratosis application to better highlight the properties.
Key word: circular matrix; diagonal; determinant; adjoint matrix
目 录
摘 要: 1
引言 2
1.预备知识 3
1.1基本定义 3
1.2基本引理 4
2.循环矩阵的相关性质 4
3.循环矩阵性质的应用 10
3.1循环矩阵的求逆问题 10
3.2循环矩阵行列式的计算 12
3.3循环矩阵的对角化 13
4结束语 14
参考文献 15
致谢 16
循环矩阵的性质探究
引言
在我们学习高等代数以来，我们就开始接触矩阵.许多看似复杂的问题，用矩阵来解决则会显得简便快捷，循环矩阵就是一类很重要的矩阵，它在很多领域中有着广泛的应用.我们知道循环矩阵不仅在计算机编程上、在统计学上以及物理学都有广泛的应用.而且在求它的逆的特征值方面，在我们解决最优问题，还有需要对一些微分方程求解时我们都经常用到这方面的知识.循环矩阵是在1885年有了基本的概念，数学家也就是从这之后开始深入钻研的，并且也取得了成效.在1950年之后，对于它的逆、特征值及行列式等的研究，为循环矩阵的钻研开辟了新的征程.
许多学者都对它的性质及应用做出了大量的研究，如文献[4]主要阐述了循环矩阵行列式与特征值的相关性质，文献[1]、[3]和[10]主要介绍了循环矩阵的性质在求逆方面的应用，文献[5]主要阐述了循环矩阵判定的性质，但重点突出其妙用方面的研究还不是很完善.
在认真研究了前人的研究结果的基础上，结合自己所学的知识，本文主要是对之前的成果进行梳理，再利用求循环矩阵的逆、循环矩阵的对角化以及循环矩阵行列式的计算等方面来进一步突显循环矩阵的性质.
1.预备知识
1.1基本定义
定义1 设n-1次多项式 = , 为n阶矩阵，则称 为多项式 关于矩阵 的生成矩阵, 为矩阵 的 次生成多项式.
定义2 在复数域C上，形如
A= （1）
的矩阵称为关于元素列 的循环矩阵（circulant matrix）.
从上面的（1）可以直观的看出，循环矩阵A中与主对角线平行的每一条对角线上的元素是相同的，从次对角线线来看 是对称的。
定义3 循环矩阵
（2）
是重要的特殊矩阵，我们把它命名为循环置换矩阵（cyclic permutation matrix）也叫基本循环矩阵又或者移位矩阵.
利用记号，K circ(0,1,0,…,0) 令 （i=1,2,…,n）称E， 为循环矩阵基本列.
定义4 设 对于这样的矩阵 ,若它的多项式与它的特征多项式相等，那么就叫这个 为循环矩阵.