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摘 要 本文从行列式、多项式、矩阵等方面,结合具体问题探讨了构造法在高等代数中的一些应用.
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毕业论文关键词 构造法；行列式；多项式；矩阵
著名数学家波利亚曾经说过：掌握一门学科需要掌握它的两个方面——知识和技巧.所谓技巧就是在解决数学问题所用到的数学方法.其中构造法就是数学解题中一种基本方法.所谓构造法就是根据题目中已知的条件和结论所具备的性质和特点，来构造出满足条件或结论的数学模型，然后借助于数学模型来解决问题的方法.构造法中也包含着多种角度，例如：构造行列式、多项式、线性方程组、分块矩阵等.无论哪一种构造法，不可以盲目使用而应该用辩证法的基本观点：具体问题具体分析.解题的一般思路是分析题设的条件和结论的特点运用逻辑思文构思出辅助元素进而推出所要得出的结论.38076
在高等代数学习中，有很多问题可以采用构造法来解决，比如行列式问题、多项式问题、矩阵问题等相关问题.本文就构造法在高等代数解题中的应用做一些探讨.
1 构造法在计算行列式中的应用
在行列式中，范德蒙行列式是一个重要的行列式.有许多行列式，它本身不是范德蒙行列式，但它们又都与范德蒙行列式有密切联系，此类问题好多都可以根据该行列式的特点,通过构造一个合适的范德蒙行列式来解决.
问题1 计算 阶行列式
.
根据这个行列式的特点可以构造 阶范德蒙行列式
,
而行列式 可以看成是关于 的一个 次多项式,这个多项式的 的系数就是
.
于是,只要计算出行列式 (即多项式)中 的系数就可以求出 .由于
,
其中 的系数为
.
由此可得
.
问题2 计算 阶行列式
.
根据这个行列式的特点，可以通过加边的方法来构造出一个 阶行列式
，
然后将上述行列式的第一行乘以 加到第 行 ,再根据行列式的性质按第一列拆成两个 阶行列式的和，并根据范德蒙行列式可得
问题1、2分别是根据行列式本身的特点，通过构造一个合适的行列式来解决问题的.这样处理的行列式中都具有 个元素 及各次方幂这种形式的特点，具有这种特点的行列式往往都可以通过构造合适的范德门行列式来促使问题的解决.
2 构造法在求多项式问题中的应用
在多项式问题中，经常要求满足一定条件的多项式 ，但是往往题目中并没有告诉 表达式，此类问题通常好多都可以通过已知条件中给定的一个或几个多项式，利用多项式的性质、特点来构造出一个合适的的多项式来解决.
问题3 设 是一个非零复数，证明：存在非零有理系数多项式 ,使得 的充要条件是存在有理系数多项式 ，使 .
证 因为 满足
，所以整理可得 .
根据上式，可以构造有理系数多项式 ，
则 满足 . 据题意可设 ，
并且满足 .不妨设 是 中第一个不为零的系数，由 非零可知，这样的 一定存在，于是就有 ，
其中 ，
由 , ，得