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1.1排序不等式
定理1[10] 设有两组实数 两组数满足 ， 为 的任意一种排列有
（顺序积和） ；（乱序积和） ；
（逆序积和） 则
（1）
即顺序积和 乱序积和 逆序积和 （当且仅当 或 时成立）
证 首先证顺序积和 乱序积和
假设
因为 为 的任意一种排列，则由假定可得到下面的几个不等式或(等式)
（2—1）
（2—2）
（2—3）
……
（2—n-1）
（2—n）
所以 （2—1）+（2—2）+…+（2—n-1）+（2—n）得
即
这与切比雪夫不等式相矛盾.
所以 顺序积和 乱序积和
其次证:乱序积和 逆序积和，因为
所以
得
即
乱序积和 逆序积和
综上，顺序积和 乱序积和 逆序积和.
1.2 矩阵表达形式
排序不等式的另一种表达形式
设 为两组实数， 的任意一个排列，设矩阵
（列积和）；
（列积和）；
（列积和）；
则有
2.排序不等式的推广
2.1.提出问题
排序不等式很常用的不等式.用初等数学很难有所推广，本文采用高等数学知识给出排序不等式的另一种证法，是此类的问题得到一个完善的论证，对排序不等式进一步的推广.