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在二十世纪七十年代，分数阶微积分才被运用到实践当中。分数阶导数含有两类，分别是局域和非局域，本文是根据局域的分数阶导数来计算推导得出最终结果的。阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿
本文利用一个新的李代数，运用等谱问题推导出分数阶KN族方程的Hamilton算子，递归算子和Hamilton函数，并用变分恒等式来求出KN族的非线性可积耦合的Hamilton结构。
1.预备知识
1.1 可积偶合的概念
对于这几年来很多专家学者,例如马文秀等人都得出了许多的研究可积耦合的办法.例如：摄动法，李代数法等方法.我们根据上面的方法，专家学者得到了各种方程族的可积耦合.对于孤子理论来说，可积耦合是一个新的研究方向，我们利用的是李代数构造可积耦合，最近几年来，可积耦合是研究的热点问题，下面给出可积耦合的定义
设：
（1）
为已知的科技系统分，若系统：
(2)
仍是可积系统，且S（u,v）显含u或u对x的导数，则称(b)为(a)的可积耦合.特别地，如果（b）的第二个方程对v是非线性的，则称(b)是(a)的非线性可积耦合.
1.2分数阶导数的定义及其性质
定义1： 设f是R上的连续函数，则f的 阶导数为：
(3)
性质1： 设f,g是R上的 阶可微函数，则有：
(4)
性质2： 令 表示 积分，形式如下：
(5)
于是有广义 公式：
(6)
性质3： 设f,g是R上的 阶可微函数，有性质1和性质2知：
(7)
性质4： 从 变分导数， 分数变分法和 分数可微函数 的辩分原理，给出分数阶变分导数：
(8)
其中k是正整数。
2.分数阶KN族方程族的推导
我们取李代数G的一组基如下：
（9）
（10）