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②行列式性质的几何意义：I.某两行（或者两列）交换位置后行列式的值不变等价于平形多面体的两边交换位置，平行多面体的体积不变；II.行列式某一行或者列扩大m倍，就相当于把整个行列式乘扩大m倍，等价于将多面体的一条边扩大m倍，体积也扩大m倍；III.行列式某一行经过一定变化加到另一行上，此时平行多面体变倾斜.行列式等于0，那么相对的平行多面体的体积也是0，此平行多面体发生退化，就是说它在一个比本身低一个文度的空间中，不存在体积.
(4)在空间直角坐标系中两者的联系
空间直角坐标系Oxyz，a为x轴上的单位向量，b为y轴上的单位向量，c为z轴上的单位向量，设向量m= ，n= ，p= ，则有：
① 的叉乘 = ；
② 的混合积 • = ；
③若 ，则有 ，反之，也成立；
④ 在同一平面等价于 • ；
（5）直线方程 的方向向量s= ；
（6）直线 ， 交于一点，设 方向向量 ， 方向向量 ，它们能确定一个平面，它的法向量是α= .
例1[3] 已知一平行751面体，条边都是行列式各行形成的向量，证：平行751面体体积和3阶行列式的值相等
证明 设行列式为d= ，那么，由题意知，设行列式的行在直角坐标系下的向量的坐标为