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摘要 本文利用比较的方法以及误差分析的方法对所涉及的连续函数逼近并进行一定的研究.通过研究我们得出了误差估计的范围和创建了一种新的方法.
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毕业论文关键词 拉格朗日；比较；(非)均匀40031
1.引言
一般来说，在实际生活的应用中，我们通常不能完全了解所有的资料，不论是三角还是多项式，还是立体大楼的所有数据，统统不可能做到尽全尽美，为此就有了拉格朗日插值法估计所有数据的方法，我们只要知道部分点的信息就可以拟合出整个函数的曲线，从而方便有效的进行处理，然而我们又如何估计这些伪数据的可靠性呢，为此我们下面就要进行一番讨论了.插值法是利用函数f(x)在某区间内插入若干点的函数值,作出适当的特定函数,再在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值,这种方法称为插值法.其目的便就是估算出其他点上的函数值.而拉格朗日插值法就是一种插值法.
2.拉格朗日插值公式
一般来说，利用泰勒展开在f (x)的展开中心附近构成最好逼近，然而离开中心时，由于R(x)的误差变大而变的不太理想.对于这样中心点的逼近，可以归结为是一个实轴上的某个有限区间的全体的一致逼近的问题，其中最有效的方法就是进行插值和下面我们将要提到的多项式
的展开.
设逼近的函数是f (x)，在实轴上有 个不同的点 称这些点上与f(x)的值相一致的一个连续的近似式是 插值公式（见下图），使得：
（1）
这些点我们称之为节点.
这里考虑用多项式构成的插值.若个 节点全都相异，插值公式 根据式(1)可知至
多是 次多项式且是唯一的,设其为
(2)
其中 至多是 的 次多项式.为 使满足(1)式，显然 必须满足以下条件.
（3）
该多项式是由下式唯一给出的： （4）
其中 . （5）
将此结果代人(2)式可得如下定理：
定理1 定义f（x）是一个连续函数由所给一个相异的节点 所给出的多项式插值公式是:
（6）
插值公式(6)称为拉格朗日插值公式， 是 (6) 中 的系数，所以称其为拉格朗日插值系数，请注意，拉格朗日插值公式是关于 的线性形.
3．拉格朗日余项与误差计算
拉格朗日余项（Lagrange Form of the Remainder）的运算首先涉及泰勒公式，其内容如下：给定一个函数 ，若可以将其展开幂级数 的形式如下：