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则必有 .那么,泰勒级数的形式就可以如下:
其中,前 项我们称之为函数在 处的 阶泰勒展开式.但是,泰勒展开能够无限的逼近原函数,是 趋向于无穷为前提条件的.如果我们只将函数展开到 阶,后面部分我们称之为余项就可以省去,这必然会产生误差.记余项的表达式为 ,用来表示 项之后的余项,则泰勒展开可以写成如下的新的式子:
也就是说,
我们做一个移项就有:
我们称 是拉格朗日余项.
对于(2)式作为 时,其中 是节点 上的 次拉格朗日多项式,在一个我们认为理想的空间(之前就已经假设过了),根据罗尔定理
由于 ,必定在 内存在一点 ,使得
即 4.比较的方法进行分析
对于 的最大最小值点,也可以是稳定点进行分析.我们假设有偶数个节点 .n是偶数.其中 (如下图) 取任意非节点,即 , .
为了下面方便我们分析,我们用一个伸缩变换使得节点之间的间距都是1.事实上我们可以提出个常数 来完成.与此同时我们分析下 这个式子,我们对其求导可以发现这个 阶的式子求导后有 个稳定点,也就是极大值和极小值,而最大值和最小值必定就在这些点之中,而且每个节点之间都有一个极值点,而且这些点都在两个节点中间,我们可以知道当取节点的时候,这时函数的值为0,相邻两个节点都为0的话,我们利用罗尔中值定理,可以知道这其中必有极值点,又有 个节点,所以这那个节点的分布,必定是每相邻的2个节点之间都有有且仅有一个极值点.我们就可以根据这几个节点进行如下分析.
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