-
摘要 本文将对向量函数的分析进行研究论述，对向量函数进行分析研究。在学习微分几何时要广泛的应用到向量分析的知识。正如数学分析中对实数函数所讨论的那样，我们也对向量函数引进极限、连续、微商和积分等概念。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。40032
- 上一篇：拉格朗日插值公式的误差估计
- 下一篇：常微分方程在数学建模中的应用
毕业论文关键词：极限；连续；微商；积分；泰勒公式
引言曲线与曲面的微分几何包括两个方面，其中一方面是随微积分的出现而开始的，这部分可以成为经典的微分几何，另一方面是整体微分几何。经典微分几何是研究曲线和曲面的局部性质的，我们在研究曲面时，自然会出现曲线的某些局部性质，因而对于向量函数的分析研究，即向量分析则成为了基础的知识内容。本文将对数学分析中函数的相关内容同微分几何中的向量函数进行对比迁移。
我们在数学分析中对函数进行了分析学习，本文中我们将会对比实函数和向量函数进行对比分析，探讨如何将数学分析的内容平移到向量函数中。因此，我们将给出
实函数定义 ：
给定两个实数集 和 ，若有对应法则 ，使 内每一个数 ，都有唯一的一个数 与之对应，则称 是定义在 上的函数，记作:
数集 称为函数 的定义域， 对应的数 ，称为 在点 的函数值，常记为 。全体函数值的集合记为：
类似地给出
向量函数定义 ：
给出一点集 ，如果对于 中的每一点 ，有一个确定的向量和它对应，则我们说，在 上给定了一个向量函数，记作
, 。
例如，设G是实数轴上一区间 ，则得到一元向量函数
,
设 是一平面区域， ，则得二元向量函数
设G是一空间中区域， ，则得三元向量函数
通过实函数的定义，可以类似的更改相关变量的属性即可得到向量函数的定义，通过以上定义，我们可以得出：通过数学分析中函数的定义，可以类似的定义响亮函数，从而可以对其进行接下来的研究讨论。
一、向量函数的极限
数学分析中对实函数首先进行了极限的讲解，因此先给出实函数 趋于 时的数极限概念 ：
设函数 在 的某个空心邻域 内有定义， 为定数。若 使得当 时有
则称函数 当 趋于 时以 为极限，记作
或
类似的我们给出向量函数的极限定义
设 是所给的一元向量函数， 是常向量，如果对 时， 成立，则我们说，当 时，向量函数 趋于极限 ，记作
有关数量函数极限的性质，涉及函数极限的唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，迫敛性，及四则运算法则。其中四则运算法则可以推广到向量函数中去。我们先来介绍实函数极限的四则运算法则 ：
若极限 与 都存在，则函数 ，当 时，极限也存在，且
1）
2）
3）又若 则 当 时极限存在，且有
将这一性质推广到向量函数中则得到
命题1 如果 和 是两个一元向量函数， 是一个实函数，并且当 时，这些函数的值趋向极限