把 个投试样品试验到部分失效就停止的试验称为截尾寿命试验.在截尾寿命试验中,依先后顺序记录的失效数据 …… 称为截尾样本,其中 为失效数.一般 ,特别,当 时,截尾寿命试验就成为完全寿命试验.一般说来,截尾样本所含的失效信息总比完全样本少一些,假如我们能知道产品的寿命分布,譬如是指数分布或是对数正态分布,那么用截尾样本加上产品的寿命分布信息,进行统计分析,获得的产品可靠性指标的估计仍然是可靠的,由于这一点,当今不少产品都采用截尾寿命试验,以图减少寿命试验时间.常用的截尾寿命试验有如下两种:
(1)定时截尾寿命试验,又称Ⅰ型截尾寿命试验,它是指试验到指定时间就立即停止试验,这时样本中的失效个数是随机的,譬如对 个样品进行寿命试验,事先指定 小时是试验停止时间,那在 小时内可能失效 个,也可能失效 个,为了不使失效个数过少或过多,恰当地规定试验停止时间是实施时截尾寿命试验的关键 个产品在 时开始试验,试验到事先规定的截尾时间 停止,如果试验截止时一共有 个产品失效,他们的失效时间分别为 … .此时失效数 是一个随机变量,所得的样本 , ,……, 称为定时截尾样本.
(2)定数截尾寿命试验,又称Ⅱ型截尾寿命试验,它是指试验到指定的失效个数停止.譬如事先规定试验到有 的样品发生失效时停止,若有 个样品参加试验,那试验在有 个样品失效时就停止,知识试验停止所用的时间是随机的,因此恰当地规定失效比例,不至于是试验时间过长是成功地进行定数截尾寿命试验的关键 个产品在 时开始试验,实验进行到有 个产品失效时停止, , 个失效产品的失效时间分别为 … , 是第 个产品的失效时间,所得的样本 , ,…, 称为定数截尾样本.
1.2截尾样本的分布
次序统计量及其分布
次序统计量
设 ,…, 是来自某总体的一个样本,该样本的第 个次序统计量,记为 ,它是如下的样本函数,每当该样本得到一组观测值 , ,…, 时,将它们从小到大排列为 … ,其中 称为该样本的最小次序统计量, 称为该样本的最大次序统计量. 称为该样本的次序统计量.
在总体有密度函数 场合,各种次序统计量的密度函数都容易用”概率元法”导出.设 是来自某总体的一个样本,该总体的分布函数为 ,密度函数为 ,该样本的次序统计量为 ,它们的观测值依次记为 .
定理1 设总体 的密度函数为 ,分布函数为 , 为样本,则第 个次序统计量 的密度函数为
定理2 在定理1的记号下,次序统计量 的联合分布密度函数为
2.回归模型
2.1截尾情况下回归模型的背景
在线性回归模型中,我们也会遇到截尾的问题,即响应变量或解释变量被另一变量随机截断.考虑如下线性回归模型
其中 是我们关心的寿命, 是 文解释变量, 是 文的未知回归系数, 是随机误差项, 是对应的截断随机变量, 与 独立, . 分别是对应于寿命 和截断随机变量 的分布函数.我们只能观察到 个独立同分布的样本
现在关心的问题是如何构造回归系数的置信区间.通常的处理方法是首先对被截断的数据根据已有数据进行推测,再把推测后得到的样本看作是独立同分布的,采用最小二乘法求得回归系数 ,而 证明了 的渐进正态性,由此可以构造关于回归系数 的置信区间,但是由传统的渐进正态方法构造的置信区间可能存在一些缺点.首先小样本下得到的置信区间性质不够好;其次,不具有很好的保区间性(所谓保区间性即估计值不会超出真实值的可能取值范围).
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