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摘要：矩阵的研究有极其广泛的内容，其中矩阵的标准形问题无论是在理论上还是实用中都占有非常重要的地位.本文主要介绍了矩阵标准形的简单定义和矩阵标准形唯一性、简化性以及在线性方程和二次型中的一些简单性质的具体证明.然后以矩阵的标准形为对象，用实例探究了其在解线性方程组、矩阵的分解表示、矩阵的特征值、矩阵的秩、二次型方面的具体应用.40455
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毕业论文关键词：矩阵;标准形;线性方程组;矩阵的秩;分解
The Application of Martis Normal Form
Abstract: The study of matrix has a very wide range of content, and the problem of the matrix standard form both in theory and practice has a very important position. This paper introduces the simple definition and the uniqueness and simplify of the matrix standard form,and the concrete proof of some simple properties in the linear equation and quadratic form. Then based on the canonical form of a matrix, the papper discusses the application of it in the solution of linear equations,matrix decomposition representation, matrix eigenvalue, rank of matrix and quadratic form.
Keywords: Matrix; Standard form; Linear equations; Matrix decomposition;
目 录
摘 要 1
引言 2
1. 预备知识 3
2. 矩阵标准形的性质 4
3. 矩阵标准形的应用 7
3.1 在求线性方程组解中的应用 7
3.2 在矩阵的特征值问题中的应用 8
3.3 在矩阵秩的问题中的应用 9
3.4 在矩阵分解中的应用 10
3.5 在二次型相关问题中的应用 11
结束语 12
参考文献 13
致 谢 14
矩阵的标准形及其运用 引言
矩阵表示的方法基本上贯穿于高等代数的每个章节，许多高等代数中的问题都可以归结到与矩阵相关的问题上，其中用矩阵的标准形求解问题的方法是解决矩阵问题的一个重要方法,例如在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、求微分方程等数学问题中都有重要的应用.它删繁就简的核心思想充分体现解数学问题常用的“转化”思想.因此，熟练掌握这一方法在学习解代数问题的其他方法上将是非常有好处的.
很多文献都在矩阵标准形的性质及应用问题上进行了讨论，其中米少田的《关于矩阵的标准形与线性方程组的求解》探究了矩阵的标准形和线性方程组求解的密切关系以及在有限数集的前提下不等价的解的范围估计；周朝的《关于矩阵的几种标准形》对等价标准形、相似标准形、合同标准形的特征及应用进行了探究；李月芬的《矩阵的标准形的一些应用》介绍了矩阵的标准形在矩阵的分解、矩阵的秩和矩阵的特征值等方面的应用；黄承绪的《论矩阵行标准形及其应用》对矩阵的行标准形的性质以及实际的应用作了仔细的研究.
本文在文献提供的知识的基础上给出了矩阵标准形的基本性质和相关定理的证明，并探讨了矩阵标准形在求解线性方程组、矩阵的分解表示、矩阵的秩、矩阵的特征值、二次型等方面的实际应用，做出了进一步的分析和证明.
1. 预备知识
定义1.1[6] 矩阵标准型的理论来自于矩阵的相似性,矩阵在初等变化下有很多数值不一样的表象,但其本质特征,如秩,特征值,特征多项式等都是相同的,这些相似不变量就是这个矩阵的本质特征,而如何用最简单的形式表征这些矩阵就是标准型的由来了.
矩阵的标准形一般有3种
（1）梯矩阵
（2）行简化梯矩阵(或称为行最简形)