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    在本题中,对 中的有需对 < 1,1 >,存在<1,2>    <1,3>  ,以及
     <1,2>    ,<1,3>    对 中的有序对  <1,2>  ,有 < 2,3>   以及
    <1,3>  ,但对 中的需对<1,3> ,< 2,3>,由于不存在< 3,x>  (x  )
    直接根据定义不好判定该二元关系是否具有传递性,面对这样的问题,我们给出以下的二元关系传递性的等价定义:
    2 二元关系传递性的等价定义及其应用
     2.1.1 [9]定义 设 是 上的关系,若满足 
     x y z  (x,y,z A <x,y>    →<y,z>     (<y,z>      <x,z>  ))则称 为 上传递的关系。
    利用此定义也可以判定例1中关系 是传递的

    例2已知 = ,
     =   ,判断 是否为传递关系。
    解:对 中的有序对< a, b >,有 <b,c>  且有<a,c>  ;
    对 中的有序对< e, e>,有 <e,d>  且有<e,d>  ;
    对 中的有序对<e,d>,有<d,c> R且有<e,c>  ;
    对 中的有序对< a, c >,<b,c>, <e,c> ,<d,c>,  ,但没有<c,x>  ,所以蕴
    含式的前件为假,则蕴含式为真。    
    因此,此关系是传递的。
      2.2.1 [1]定义  设 =( ), =( )是两个关系矩阵,如果 < ,i,j=1,2,3n,则称 不超过 ,记做 ≦ ,
     2.2.2[1]定理   在 上可传递的充要条件是     。
    证明 必要性
    任取<x,y> 有  <x,y>       
       t(  <x,t>      <t,y>   )
       <x,y>    (因为R在A上是传递的)
    所以     。       

    充分性    任取<x,y> ,<x,y>  ,则
      <x,y>     <y,z>  ,
      <x,z>     
       <x,z>    (因为     )
    所以 在 上是传递的。

    3关系图
    判定二元关系的传递性还有一个方法是关系图法:
     3.1.1[1]定义 设 = , 是 上的关系, 的关系图记做 , 有n个顶点 , , ,, 。如果< , >  , 在 中就有一条从 到 的有向边。
    关系图法判断传递性的特点:任意    ,如果 到 有边, 到 有边,则从 到 也有边的话,则关系 是传递的
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