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摘 要：文章主要讨论的是一个新孤子方程族的守恒律和自相容源．具体来说，首先给出与Lie超代数相关的新孤子方程族的谱问题，然后利用Tu格式推出一个新孤子方程族．接下来，考虑一个线性系统，得到这个新的孤子方程族的自相容源．最终，通过引入两个变量，并展开、比较得到递推公式，进而求得新的孤子方程族的守恒律．特别地，在超可积系统的计算中，费米变量起了必要的作用，它与一般的可积系统不同．39177
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毕业论文关键词：孤子方程族；守恒律；自相容源；费米变量
Conservation Laws and Self-Consistent Sources for a New Soliton Equation Hierarchy
Abstract: In this paper, it mainly introduces the conservation laws and self-consistent sources for a new soliton equation hierarchy. Firstly, it gives the spectral problem of a new soliton equation hierarchy, which is associated with the Lie super algebra. Then it uses Tu format to introduce a new soliton equation hierarchy. Next, considering a linear system and leading to the self-consistent sources for this new soliton equation hierarchy. Finally, it introduces two variables to get the recursion formula by expanding and comparing, thus the conservation laws for a new soliton equation hierarchy is obtained. Especially, in the process of computation, Fermi variables play important roles in super integrable systems, which are different from the ordinary integrable systems.
Key words: Soliton equation hierarchy; Conservation laws; Self-consistent sources; Fermi variable
目 录
摘 要 1
引言 2
1．一个新孤子方程族的推导 3
2．一个新孤子方程族的自相容源 7
3. 一个新孤子方程族的守恒律 11
4．结束语 17
参考文献 18
致谢 19
一个新孤子方程族的守恒律和自相容源
引言
我们都知道，在已经过去的几十年中，孤立子理论取得了极大的成就，它被应用于物理、数学、生物、天体物理和其它相关的潜在的领域．孤立子理论的复杂性和多样性，使学者们从不同的角度进行了探究，例如孤子方程的哈密尔顿结构、守恒律、自相容源以及孤子方程的各种解．
近几年，超可积系统得到了广大学者的关注，并得以迅猛发展起来．很多专家和学者对这一领域进行了深入的研究，例如，马文秀等在Lie超代数的基础上给出了连续和离散谱问题的超迹恒等式，同时把它们应用于超AKNS族和超Dirac族，得到了孤子方程的哈密尔顿结构[1]．随后，超C-KdV族、超经典Boussinesq族、超KN族和超Burgers族以及它们的超哈密尔顿结构也陆续被给出．
在孤立子理论的研究方面，孤子方程的自相容源越来越受到人们的关注[2-3]．它们常常被用于描述不同孤波之间的相互作用，以及其它的一些相关问题，比如流体力学、等离子物理和固态物理等．
守恒律对孤子方程可积性方面的研究，也发挥着它极其重要的作用[4-7]．1968年，Miura、Gardner和Kruscal首先发现了KdV方程的无限守恒律，随后Wadati等人又发现了寻找方程的无限守恒律的很多种方法．然而，守恒律在数学和工程方面也起到了重要作用，许多论文都涉及到对称和守恒律[8-11]．
文章主要讨论的是一个新的超孤子方程族的守恒律和自相容源．具体来说，首先给出与Lie超代数相关的新孤子方程族的谱问题，然后利用Tu格式推出一个新孤子方程族．接下来，考虑一个线性系统，得到这个新的孤子方程族的自相容源．最终，通过引入两个变量，并展开、比较得到递推公式，进而求得新的孤子方程族的守恒律．在计算的过程中，费米变量 和 起了重要的作用，即 和 满足 ， ，费米变量满足Grassmann代数，从而大大简化了计算过程．