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摘要 本文介绍了分数阶导数与分数阶积分几种不同的定义以及分数阶微积分的一些比较重要的性质及其详细证明.列举了几个初等函数的分数阶微积分,主要是利用指数函数的分数阶微积分推导出了两大类分数阶齐次常微分方程一般形式的通解.并且本文推导了某些非齐次分数阶方程的解法,将它与拉普拉斯变换解方程进行了简单的比较.并且本文最后在解某些非齐次分数阶方程的基础上,运用降元的方法解非齐次方程组.39643
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毕业论文关键词 分数阶导数;分数阶积分;指数函数;拉普拉斯变换
目录
摘要1
1 引言1
1.1 分数阶微积分研究背景. 1
1.2 分数阶微积研究现状. 1
1.3 本文的组织结构. 1
2 分数阶微积分的定义. 1
2.1 分数阶导数. 1
2.2 分数阶微积分的定义. 3
2.2.1 Cauchy积分公式 3
2.2.2 Grünwald-Letnikov定义 3
2.2.3 Riemann-Liouville定义 4
2.2.4 Caputo 定义. 4
3 分数阶微积分的性质. 4
3.1 分数阶微积分的一些性质. 4
3.2 几种不同定义之间关系的分析. 7
3.3 几个常见的初等函数的分数阶微积分.8
4 分数阶齐次常微分方程通解的初步研究. 9
4.1 分数阶齐次常微分方程 ) 0 ( 0 ) ( ) (
t qf t f Dt
的通解9
4.1.1 分数阶方程 0 ) ( ) (的通解9
4.1.2 分数阶方程 0 ) ( ) ( t qf t f Dn的通解10
4.2 分数阶齐次常微分方程 ) 0 ( 0 ) ( ) ( 的通解13
4.2.1 分数阶方程 ) 0 ( 0 ) ( ) (的通解13
4.2.2 分数阶方程 ) 0 ( 0 ) ( ) (
1 2的通解. 15
5非齐次分数阶常微分方程及方程组 17
5.1非齐次分数阶常微分方程 17
5.2拉普拉斯变换的定义 21
5.3拉普拉斯变换的性质 21
5.4非齐次分数阶常微分方程组 22
结论23
参考文献23
1 引言1.1分数阶微积分研究背景分数阶微积分是一个古老而又新颖的课题,之所以说它古老,是因为分数阶微积分的研究历史几乎与整数阶相同,它起源于一些数学家的猜测.在 1684 年,莱布尼茨公开发表了数篇微积分论文,之后有了一定的发展.11年后,法国数学家洛必达致函询问对函数求分数阶导数的含义.此后分数阶微积分有了进一步的发展.普通的微积分都是在次数为整数情况下进行的运算,而分数阶微分是将通常意义下的整数阶运算推广到运算阶次为分数的情况.但是,分数阶微积分又是一个非常新颖的课题.近年来,在很多领域内都得到了很多的扩展.现在有很多会议、论文都涉及分数阶微积分.1.2分数阶微积分研究现状在数值算法方面,现在还存在着一些问题：第一在长时间历程问题的有关方面未能给出较为可行的方案；第二在分数阶微积分的定义方面还有不完善的地方,到现在还没有给出能被大部分学者所接受的定义.在理论研究方面,几乎都是假定满足所需要的条件,并且其证明和经典微积分方程一样,也就是说,这些工作可以说只是经典微积分方程理论的一个推广,并没有实质的进展.对分数阶微分方程的定性分析很少有较为系统性的结果,并且通常的求解方法具有一定的局限性.1.3本文的组织结构本文主要写的是分数阶微积分的不同种类的定义及其有关性质,并且对两类分数阶齐次常微分方程通解的初步研究以及推导了某些非齐次方程及方程组解的问题.第二部分主要给出了关于分数阶微积分几种不同的定义;第三部分主要给出了分数阶微积分的一些性质及其证明;第四部分主要推导出两类分数阶齐次常微分方程的一般通解公式推导;第五部分推导了某些非齐次分数阶方程的解法,并与拉普拉斯变换解方程进行了简单的比较,并且根据非齐次方程的解法给出了某些方程组的解法.