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摘要: 众所周知, 在物理、化学、经济、生态系统中的许多问题都可以抽象成微分方程模型. 由于现实世界中量与量变化关系的复杂性, 想依靠求解方程来探索现实规律变得不太容易, 因此需要对方程进行定性分析, 而奇点的稳定性态是微分方程定性理论研究的重要方面. 本文首先介绍了平面定性理论中奇点的定义, 又依特征方程根的情况对方程奇点的类型进行了讨论, 并对奇点的稳定性进行了分析. 在对线性微分方程奇点类型总结的基础上, 进而探究了初等奇点在非线性微分方程中的类型. 39726
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毕业论文关键词: 奇点; 稳定性; 平面定性理论
The Types of Singularities of Ordinary Differential Equation and its Stability Analysis
Abstract: As is known to all, most problems in the physics, chemistry, economic and ecological systems can be abstracted as differential equation model. It is because of the complexity of the changing relationship between quantity and quantity in the real world that exploring real laws by solving the equation is becoming uneasy. Thus it is necessary to make qualitative analysis to the equations. And the stability of the singularity state is one of the most important aspects of the theories of differential equations. Firstly, this paper introduces the definition of singularity in planar qualitative theory. Then according to root of characteristics equation, the singularities are classified and the stability of the singularity is discussed. On the basis of the summary for singular types of the linear differential equations, the singularity types in nonlinear differential equation are explored.
Key words: Singularity; Stability; Planar qualitative theory
目 录
摘 要1
引言2
1常微分方程奇点和稳定性的定义3
2线性微分方程的奇点类型及其稳定性4
2.1线性微分方程的奇点类型4
2.2线性微分方程的奇点稳定性8
3初等奇点在非线性微分方程中的奇点类型10
3.1非线性微分方程的双曲奇点10
3.2非双曲初等奇点的类型14
4结束语17
参考文献18
致谢19
常微分方程的奇点类型及其稳定性分析引言
常微分方程定性理论是在伟大的法国数学家庞加莱工作的影响下发展起来的, 其于1881—1886年发表的题为“常微分方程所定义的积分曲线”的四篇经典论文标志着一个新的数学分支诞生[1], 常微分方程稳定性理论是由伟大的俄国数学家李雅普诺夫率先提出的, 首先他给出了稳定性的严格数学定义, 又与1892年, 在论文《运动稳定性的一般问题》中建立了运动稳定性理论, 为我们研究微分方程开辟了新方向. 奇点是微分方程的一个重要指标, 它对应方程的平衡状态, 稳定性是一切自动控制系统必须满足的一个性能指标, 它是系统在受到扰动作用后的运动可返回到原平衡状态的一种性能, 所以奇点的稳定性态是系统性质的一个重要方面, 也是微分方程稳定性理论研究的重要方面.
对于奇点的研究主要包括两个方面, 一是奇点的结构类型, 二是系统在受到扰动后是怎样变化的. 简而言之, 即对奇点的类型和稳定性的研究. 通常情况下对被研究系统进行分类讨论是非常困难的, 但是只对稳定对象进行分类问题就会得到简化. 本文正是采用这种研究方法, 先对系统进行奇点分类[2], 后针对不同奇点类型进行相关的稳定性分析.
论文总结了平面自治系统定性理论中奇点的分类判定方法及其稳定性态分析, 主要分为四个部分. 第一部分介绍了常微分方程的奇点和稳定性的精确定义. 第二部分主要对线性微分方程的奇点类型进行了分类总结, 以特征根的性质为切入点将线性系统的奇点分为几种类型, 并对不同奇点类型进行稳定性分析. 在熟悉不同奇点特性后, 又给出了判断线性微分方程奇点类型和稳定性的一般方法. 第三部分是对非线性微分方程奇点类型的分析, 主要是对非线性微分方程中初等奇点的奇点类型进行了分析. 初等奇点分两种情况, 即双曲奇点或非双曲奇点, 特别是非双曲初等奇点在非线性系统中的奇点类型更是值得我们去研究讨论的. 最后是本文的结束语, 不仅仅是对本文的总结, 还有对平面定性理论中判定奇点类型新方法[3]、新课题的期待.