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1 常微分方程奇点和稳定性的定义
定义1.1[4] 对于二文(平面)一阶驻定微分方程组
(1.1)
同时满足 , 的点 是微分方程组(1.1)的奇点, , 是方程组的解. 显然若奇点不为原点, 总可通过坐标平移将奇点平移到原点.
定义1.2[1][5] 对微分自治方程
(1.2)
其中 对 连续.
如果对于任意给定的 和 都存在 , 使得只要 满足
就有
对一切 成立, 则称方程(1.2)的解 是稳定的, 否则是不稳定的.
若 是稳定的, 而且存在 , 使得只要 满足
就有
则称方程(1.2)的解 是渐近稳定的.
一般情况下, 我们把解 的稳定性化成奇点的稳定性问题进行讨论.
这样就有下面的关于奇点稳定性的定义:
若对任意 , , 存在 , 使当 时有
对所有的 成立, 则称方程(1.2)的奇点是稳定的, 反之是不稳定的.
若方程(1.2)的奇点是稳定的, 且存在 , 使当 时有
则称方程(1.2)的奇点是渐近稳定的.
2 线性微分方程的奇点类型及其稳定性
2.1 线性微分方程的奇点类型
对于线性驻定微分方程, 我们考虑其轨线在相平面上的性态, 通过奇点平移, 方程的一般形式可表示为
(2.1)
如果方程组的系数满足条件
(2.2)
则奇点 , 是唯一的. 本文的讨论将首先假定条件(2.2)成立.
因为线性变换不会改变奇点的位置, 也不会引起相平面上轨线性态的变化, 所以奇点的类型也不会改变. 根据线性代数理论, 可借助非奇异线性变换将方程(2.1)变为