1.变量代换概述
1.1变量代换的定义
对于一些结构较为繁琐、变元较多的数学问题,用一些新的变量进行代换,以使其结构简化,疏导量与量之间的关系,从而达到解决问题的目的的这种方法叫做变量代换法.
1.2变量代换的意义
变量代换法不仅是一种有效的解题方法,更是一种数学思文.尤其是处理一些比较复杂的问题,合理采用代换提炼问题,揭示问题本质,优化解题过程有着重要的作用.变量代换在求解部分微积分的问题有实际应用,使得一些问题迎刃而解.
1.3变量代换的分类
上文中已经提到变量代换可运用到不同的领域当中,因此这种方法也具有不同的分类.常见分类有:整体代换法、局部代换法、三角代换、分式代换、增量代换法、对称代换法.
2.变量代换在微分中的应用
定义1 如果一阶微分方程具有形式 ,则该方程称为可分离变量微分方程.
若 ,则可将方程化为 .即将两个变量分离在等式两端.其特征是:方程的一边只含有 的函数与 ,另一边只含有 的函数与 .对于该类方程,我们通常采用分离变量的方法来解决.
例1 求解方程 .
解 对原方程变量分离,得到 ,两边积分,即得 , 因而,通解为 ,这里 是任意正常数.或者解出 写出显函数形式的解
对于上面的类型,采用分离变量的方法来求解,对于有些不能直接运用分离变量的,我们可以寻找合适的变量将其转化为分离变量方程.以下介绍几类可以转化为用分离变量求解的方程.
2.1 一阶齐次方程
(i) 形如 的齐次方程
令 ,即 ,于是 .代回原方程,整理得
.
这是一个变量分离方程,因此可求出其通解.
例2 解方程
解 令 ,故原方程可化为 ,分离变量为 ,两边同时积分,有
,
这里 为任意常数.
所以,原方程的解为 .
注 该类型还可以推广到形如 .
(ii) 形如 的齐次方程(其中 为常数)
作变量代换, 可将方程化为分离变量方程,将 和
代入方程,整理后可得: .
例3 解方程 .
解 将方程整理后得: ,故令 ,代入后得
分离变量后,两边积分可得 ,再代回原变量,得方程的通解为 .
(iii) 形如 类型的方程( 均为常数) (1)
对于该类方程分以下三种情况讨论:
① (常数)情形
这时方程化为 有通解 .(其中c为任意常数).
② 情形
令 ,这时有 是变量分离方程.
③ 情形
如果方程⑴中 不全为零,方程右端分子分母都是 , 的一次多项式,因此
, (2)
代表 平面上两条相交的直线,记交点为 .若令 , 则(2)化为 从而⑴变为 .
因此,解上述变量分离方程,最后代回原变量即可得原方程(1)的解.如果方程(1)中 可不用求解(1),直接取变换 即行.
例4 求解方程 .
解 解方程组 得 令 代入原方程,则有 再令 即 ,则有 两边积分得,
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