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摘要微分方程是在解决数学分析中关于微分和积分的相关问题时，为适应计算需要而产生的.积分因子在非恰当微分方程求解中起着十分重要的作用，其存在形式可以有很多种.本文就积分因子具有不同函数表现形式时的充分/必要条件进行讨论，并适当引入例题进行验证,从而有可能被用来解决形式更为复杂的非恰当微分方程，如研究一些源于数学、物理、生物等领域的微分方程.41870
该论文有参考文献4篇。
毕业论文关键词：常微分方程 恰当微分方程 非恰当微分方程 积分因子
The Characteristics Analysis of the Integral Factor of Ordinary Differential Equations
Abstract
Differential Equations are introduced to deal with the various practical situations arising from integral and differential problems. Integral Factor Method (IFM) for solving non-exact differential equations is very important, which may have so many forms. In this article, we shall discuss about the sufficient / necessary condition for the existence of different integral factors, and introduce several appropriate examples to verify the conclusions. It is worth pointing out that the factor studied here might be used to solve more complex forms of non-exact differential equations, which also might be applied to study of some particular problems from mathematics, physics, and biology.
Key Words: ordinary differential equation exact differential equation intergral factor non-exact differential equation
目 录
摘要-Ⅰ
AbstractⅡ
目录Ⅲ
1 引言1
2微分方程3
2.1恰当微分方程3
2.2积分因子的定义-5
3 积分因子的特点分析9
3.1形如 的积分因子9
3.2形如 的积分因子15
3.3形如 的积分因子-17
参考文献-21
致谢23
第一章 引言
数学分析中讨论了变量之间的和的各类函数以及函数的微分与积分.如函数在未知状态，但是变量和函数的代数关系已知时就可以得到代数方程，通过对代数方程进行变形和计算化简来求出未知函数.另一方面，如果由自变量、未知函数以及函数的导数（或微分）之间的关系得到的方程，便是微分方程，通过对微分方程求解可以得到未知函数.只有一个自变量的微分方程就叫做常微分方程.
微积分是能应用于多种函数的一种普遍方法，在微积分的蓬勃发展之时，常微分方程应时而生，数学家们在常微分方程方面的研究大致分为三个时期：
发展的萌芽期是对于具体的常微分方程，努力去把方程的解用初等函数或者超越函数来表示，这段时期被称为“求通解”时代.莱布尼茨（Leibniz）特地对如何使用变量变换来分析并算出一阶微分方程的解这个问题展开了深入的研究，而欧拉(Euler)则尝试利用积分因子来一次性处理这类问题，伯努利(Bernoulli)和里卡蒂(Riccati)在他们各自研究初等积分的时候提出了两种特殊形式的方程，而后人以他们的名字来命名他们所提出的方程.
刘维尔(Liouville)在1841年时证明了里卡蒂方程没有一般形式的初等解，故而萌芽时期的常微分方程的求解热潮平息，后来柯西(Cauchy)想到了初值问题，常微分方程开始从“求通解”时期进入了“求定解”时期[1].
在恰当微分方程的求解方面，我们有一个求通解的公式，然而在非恰当微分方程方面，求解并不能用恰当方程的通解方法来求解，所以是否能将一个非恰当微分方程化为恰当方程就有举足轻重的意义，因此得以引入了积分因子这个概念.