第二章 微分方程
2.1恰当微分方程
我们不妨把一阶分式方程 变成微分方程或将x、y对称看待写成如下形式的一阶微分方程
这里假设M,N在某长方形域里面是关于 的连续函数,且此函数的一阶偏导数时连续的,这样就方便我们来讨论如何求出方程的通解.假如方程(1)的一边刚好是一个二元函数 的全微分,即
那么(1)就是恰当微分方程,且易得(1)的通解就是 其中 为任意常数.
这样我们就会提出如下问题:
1、如何判断(1)是否为恰当微分方程?
2、若(1)是恰当微分方程,怎样求得函数 ?
为了回答以上问题,我们首先观察,如果(1)是恰当微分方程,那么函数 应该具备什么样的性质?
事实上,从(2)中得到将(3)和(4)分别对x、y求偏导,得到