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摘要复数是为了解决数学本身的问题而引入的。本文对虚数进行了研究，阐明了虚数的历史发展过程以及复数的几何意义，对复数在初等数学和高等数学中的几点应用进行了概括。并针对当今学生学习复数的情况，给出了教学上的意见。43909
Complex numbers have been conceived to solve mathematical problems. This article makes a study of imaginary number, illustrating the development of imaginary number and the geometric meaning of complex numbers.It summarizes some applications of complex number in elementary and advanced mathematics, and according to the current condition of students’ study of complex number, it gives some teaching methods.
毕业论文关键词：复数； 历史； 应用； 教学
Keyword: complex numbers； history； application； teaching
目 录
引言 4
一、复数的产生 4
（一）、虚数概念的起源 4
（二）、复数理论的发展 6
（三）、复数的几何表示 7
二、复数的应用 9
（一）、复数在初等数学中的应用 9
1、复数在函数中的应用 9
2、复数在不等式中的应用 10
3、复数在三角函数中的应用 11
4、复数在几何图形中的应用 12
（二）、复数在高等数学中的应用 13
1、用复数求导数 13
2、用复数求函数项级数的和函数 13
3、用复数求函数的幂级数展开式 14
4、用复数求定积分 14
三、复数的教学 15
（一）、复数教学中应注意的问题 15
1、复数与实数的关系 15
2、复数表示的多样性和运算的合理性的关系 15
3、复数中数形结合的思想 15
（二）、复数的教学 15
1、虚数的引入 16
2、复数的几何意义 17
3、复数的应用 17
引言
复数的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。复数是在人们解方程时引入的。从意大利数学家卡丹1545年写下复数平方根那一刻起，到1831年德国数学家提出了完备的复数几何解释，人类认识复数经历了漫长的300年。这300年的历史包括了虚数的引入，复数的几何解释和复数的应用。虚数在很长的一段时间内都笼罩在一层神秘的面纱之下，后来因为复数被广泛地应用到各个领域，人们才慢慢地开始接受它。随着复变函数理论的日渐发展和壮大，复数不仅在数学学科内，还在其他领域，比如力学、电学、航海航空等方面扮演着重要角色，正因为如此，人们对复数的认识也从此进入了一个新的境界。
一、复数的产生
（一）、虚数概念的起源
解方程的问题包括了是否有解以及如何求解这两个问题，第一个问题的回答已经由代数学基本定理作出了：在复数域内，一个n次多项式方程一定有n个根（包括重根）。想要解答代数的所有方程，仅仅有实数是不够的，要证明这点，其实并不需要复杂的高次方程，只需要考虑一个最简单的二次方程 +1=0就足够说明问题。追溯历史我们可以发现其实虚数早就隐藏于二元方程的求根公式中了。一次方程只有一个根，二次方程有两个根这个知识数学家们很早就掌握了。法国数学家许凯在解方程4+ =3x时，曾经得出x= 结果，但他认为这样的根不存在，而放弃了进一步的探索。1494年，天主教方济各会修士帕乔利出版了他的《算术、几何、比例和比例性之集成》一书，在书的末尾，帕乔利作出了一个大胆的猜想。他宣称解三次方程“就像化圆为方一样，以目前的科学水平是不可能的”。事实证明帕乔利的断言错了*751`文~论|文/网www.751com.cn， 到了文艺复兴时代，博洛尼亚大学的数学家费罗就发现了所谓缺项三次方程的方法。缺项三次方程是一般三次方程的一种特殊情况，它不含二次项，即 。这种缺项三次方程的解法使人们向着理解-1的平方根走出了第一步。随后，意大利数学家塔塔利亚也独立发现了缺项三次方程的解法论文网。1545年，卡丹出版著作《大术》。这本书中，卡丹褒奖了塔塔利亚和费罗，并公开了三次方程的解法，这就是著名的“卡丹公式”。卡丹给出了怎样把缺项三次方程的解法扩展到所有三次方程的方法。