定义3[1]: 设f(x)是定义在可测集 上的实函数,如果对于任何有限实数a,E[f>a]都是可测集,则称f(x)为定义在E上的可测函数.
定义4[1]: 设X是一个集,S是由X的子集组成的一个 -环,满足条件 ,我们称X和S是一个可测空间.
定义5[1]: 设(X,S)是一个可测空间, 是S上的一个测度,这样三位一体形成的(X,S, )称为测度空间.
定义6[1]: 设 是一个实值函数列,如果存在测度为零的集`751^文:论;文'网www.751com.cn ,对于每个 ,可以找到一个整数 ,使得 ,有
,则称 几乎处处一致收敛到f.
定义7[1]: 设 是一个几乎处处有限的可测函数列,如果对于每一个 ,存在一个可测集F使得 ,使得 在 上一致收敛到一个有限值可测函数f,则称 近一致收敛到f.
定义8[1]: 设 是一个几乎处处有限的可测函数列,f是一个可测函数,如果对于每一个 ,有 ,则称 依测度收敛到f.
3. 可测函数列各种收敛性的等价测度描述
3.1 几乎处处收敛的等价测度描述
设 和f是测度空间(X,F, )上的可测函数. 如果
,
且f a.e.有限,则说可测函数列 几乎处处以f为极限,记为 .
换句话说, 几乎处处以f为极限就是表示,存在一个 的零测集M,使得当x不在这个零测集M上时,n趋于无穷大时,可测函数列 ,收敛到有限值f(x).也不难得到 .而对于 (即全空间的测度为1)这个特殊的空间,论文网我们将函数列几乎处处收敛称为函数列几乎必然收敛.
3.2 近一致收敛的等价测度描述
设 和f都是测度空间(X,F, )上的可测函数. 如果对任给的 ,
有则说可测函数列 近一致收敛到f,记为 .
由近一致收敛的定义,可以看出,在绝大的位置上,有 .