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变形Ⅹ：若 , ，则 ，当且仅当 时等号成立。
变形Ⅺ： ，当且仅当 时等号成立。
一、数学文化的滋润——从《基本不等式》谈起
从我们接触数学开始，数字、公式、计算等时刻围绕在我们身边以及脑海里。在我们的印象中，数学就是我们拿起笔在纸上进行各种运算的。但渐渐地，我们发现数学也是具有其独有的文化特色在的。我们需要用欣赏的眼光看待数学文化，因为它比知识更为直接地、深刻地揭示出了数学的本质及价值。
高中数学必修中的“基本不等式 ”就隐含着丰富的文化特性，形如风车的弦图、小欧拉的数学智慧，还有帕波斯记载的芝诺等周图形，笛卡尔对等周问题的探索、斯坦纳对等周问题的证明。这些等周问题既是基本不等式 的自然引申，又是激发人类好奇心的极好材料。
二、基本不等式的代数背景
（1）两个不同形式的基本不等式
曾经也称不等式 为基本不等式。由于这个不等式的两边都是二次齐次对等式`751~文-论+文'网www.751com.cn，因此可以称此不等式为二次式基本不等式。相对而言，不等式 的两边都是一次齐次对称式，因此不妨称为一次式基本不等式，或者简称为基本不等式。
（2）二次式基本不等式的“基本”特点
首先体现在其构式都是整数指数幂： 。两者相比较可以看出，一次式基本不等式的式子中出现了分数指数幂，即根式 。
其次，从构造法代数证明过程中可以看出：二次式基本不等式在证明过程中运用完全平方公式的性质，即 ，式子简洁明快。相对而言，一次式基本不等式在证明过程中则使用根式 。
（3）一次式基本不等式的“基本”特点
首先体现在具有显明的代数模型，如不等式的“优势”部分 ，是 和 的等差中项，或算数中项，或算术平均；不等式的“劣势”部分则是 ，是 和 的等比中项，也可称为比例中项，或者几何中项，或是几何平均。
再者，在四个经典的不等式关系 中，即“平方平均 算术平均 几何平均 调和平均”这四者关系中，基本不等式的结构特征简洁且相对集中，表明算术平均和几何平均最为“接近”，较为“势均力敌”，地位比较相当。而平方平均呈现较强的优势，调和平均则呈现较弱的优势。相对而言，对不等式 两边开方，取算术根得 ，即平方平均 几何平均，在四个均值关系中，该二者“势力”较为悬殊，因为中间还隔着算术平均。
（4）通过二次式基本不等式改变成一次式基本不等式
二次式基本不等式 中的两个变量元 和 均可以取任意实数，即 。利用二次根式，以 ， 分别代替 ， ，得到一次式基本不等式 ，是一种最简单、最直观的替换，但前提是它的两个变量元 和 的取值范围仅局限于正数，因此该替换并非等价变换，也即并非恒等变形。当然从公式的完备性来看，一次式基本不等式中两个变量元 和 的取值范围是非负数，即 。
（5）两个不同形式的基本不等式的代数推导
一次式基本不等式的代数推到方式采用分析法，即执果索因，步步寻求其充分条件，直至最终的源头 是常识为止，这是完全平方式的性质。
由于完全平方公式所要表达的是二次齐次式，因此二次式基本不等式的代数推导公式通常采用综合法，即由原因推导出结果。也因为是直接使用完全平方公式，所以该推导方式属于构造法证明的范围，而构造法证明一般需要技巧。