韦达定理及其恒等式用韦达定理巧解问题(2)

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6.1.9简化有理系数多项式的求值 15

6.1.10结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号 15

6.2巧解几何问题 16

6.2.1平面几何 16

6.2.2解析几何 16

7总结 18

1引言

韦达定理是中学数学的极其重要内容之一。他的知识应用于中学数学的诸多方面。于此同时，运用韦达定理可以加快我们的计算速度，使我们减少了大量的运算量，节省了时间，还可以提高我们对数学学习的兴趣，数学的思维得到拓展。在高中学习阶段，韦达定理还有更加深入的应用，在学习几何过程中，利用韦达定理可求弦长，解方程，求面积。韦达定理的重要性不言而喻。然而，有一些数学题目, 看似与一元二次方程并没有关系, 但是，如若细心观察, 经过巧妙的变形后, 就能应用韦达定理, 使问题得到迅速得解答。

2背景资料

2.1背景

随着时代变迁，科学发展，人们对于数的认识，从有还是没有，发展到结绳计数，再到无理数、复数。随着数系的扩大，对许多数学问题的研究有了进一步发展。

早在古巴比伦的楔形文献中，人类就已经给出了实施和解决二次方程式的具体例题和方案。由于平方数、面积的概念是紧密相连，古希腊人处理二次方程的问题也常利用几何方法。在不承认负根和无理根的情况下，许多数字系数的二次方程这样的问题丢番图就解决过。花剌子密也研究过这类问题，但是只研究带有正系数的二次方程，他的推理大部分是运用几何学。拜斯伽罗对二次方程进了一步，他虽然给出了某一些数字二次方程的正负数的解，并且也进行了一些研究对于无理式，但是还不是完整的。列昂纳多正式引入了无理根。负数根的应用则要归功于卡丹，但这些最原始是在解决三次方程式时引入的。稍后于卡丹的韦达，已知道在复数范围内的一元二次方程恒有解，并且给出了根和系数之间的关系 “韦达定理”，由此便可利用求根公式解得一元二次方程的根了。

2.2韦达

韦达（法语：François Viète；拉丁语：Franciscus Vieta；生于1540年－1603年逝世），是当时，法国乃至世界的有影响力的数学家。他的研究工作不仅促进了当时的数学发展，而且给近代数学的发展奠定了基础。他同时也是一名律师，是皇家专用顾问，曾效力于亨利三世和亨利四世。

1540年，韦达生在法国的普瓦图地区，现今旺代省的丰特奈－勒孔特一带，韦达早年在普瓦捷学习了法律。在弗朗索瓦·韦达生活的那个时代, 正是西班牙与法国进行战争的时候，西班牙军队与派进法国军队的内奸进行通信联系使用了非常复杂的密码。尽管一些秘密的信件被法国人截获了，可是信上的密码却无法被军队的人破译，法国军队因此无法了解敌人密信中的内容。韦达受到法国国王亨利四世的邀请，请他帮助破译密码，韦达欣然同意了。经过很长一段时间的紧张细致的工作，韦达终于揭开了密信中的秘密。韦达帮助军队解开密码的这一行为激怒了当时的统治者，西班牙的宗教裁判所认为韦达背叛了上帝，宣布要用火刑来裁决他。当然，这一野蛮的裁决是不可能实现。

韦达平时喜欢探索数学中的秘密，他是数学史上第一个系统地使用符号的人。他将未知量用字母来表达，还用其表达了未知量的乘幂，以及一般的系数问题。类的算术是他对符号代数的称呼，用以区别于数的算术。韦达还发现了韦达定理来解释代数方程根与系数的关系。韦达将已有的三角学系统化也是对三角学的更进一步。