Taylor公式:在数学中,研究者发现,当函数y=f(x)在一点x0可微时,我们就有
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这就是说,函数 在 附近可以用一个线性函数 来近似替代,而这种替代的误差就是 的高阶无穷小量。为什么考虑用多项式逼近一个函数呢?是因为多项式的简单,并便于计算。如何能使误差变得更小呢?泰勒公式便可以做到这一点。
2.1. Taylor公式的定义
在数学中,泰勒公式是一个函数在已知某点信息后描述其附近取值的公式。它还给出了多项式与实际函数之间的偏差情况。对于比较复杂的函数,为了方便研究,我们最经常会使用到用多项式函数近似的表达问题中的复杂函数,这种近似表达在数学上称为逼近法。
下面给出Taylor公式的几种形式
对于正整数 ,如果函数 在闭区间 上 阶连续可导,在开区间 上 阶可导,任取 是一定点,则对任意成立下式:
其中 表示 的 阶导数,则多项式称为函数 在 点处的泰勒展开式,剩余的 是泰勒公式的余项,是 的高阶无穷小。 不同,我们随之而来对其的称谓也不同,事实上它们大多都是等价的。我们下面罗列几种。
1、佩亚诺余项 ,这里要求n阶导数存在即可成立。
2、拉格朗日余项 , 。
3、柯西余项 , 。
4、积分余项 。
5、Schlomilch-Roche余项 ,
在我们的专业学习的过程中,第一种佩亚诺余项和第二种拉格朗日余项会用到的多一些,它们分别针对于不同的题型解法,各有各的特点,各有各的优势。例如,佩亚诺余项一般在求极限中用的多,而拉格朗日余项一般是用在证明题,由于余项是用拉格朗日中值定理求出来的,所以展开到 阶的话,一定是要求函数具有 阶导数的。
若我们说局部的泰勒展开式,那就有这样的,即设函数 在 点附近有定义且 阶导数 存在,这时我们将多项式
称为函数 在 处的 阶泰勒多项式。函数 的泰勒多项式有以下性质:
2.2. Taylor公式的推广形式
2.2.1. 麦克劳林展开式
我们在前面描述的泰勒公式是说函数 在一点 处的展开式,麦克劳林展开式其实就是 取0的时候,它是泰勒展开式的特殊形式,函数 在0点的泰勒展开式,若函数 在 处 阶连续可导,则有成立。
以下是几种常见的(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式:
等等,利用最基本的初等函数的展开式,通过做一些加减乘除四则运算,从而可以求解出较为复杂的初等函数的幂级数展开式{在高数的级数求和例经常会遇到这样的题型),如此便能将问题转化为我们熟知的情况。
2.2.2. 泰勒中值定理
若 在包含的某开区间 内具有直到 阶的导数,则当 时,有
其中 是 阶泰勒公式的拉格朗日余项,见1.1.1公式形式中的余项2