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摘要均值不等式是中学教学中的一个重点，在数学领域有着广泛的应用.本文介绍了均值不等式的背景、概念以及均值不等式在证明其它不等式、求解变量的取值范围和最值时的应用，并归纳了利用均值不等式解题时的方法，以提高解题技巧.47180
Average value inequality is an important point in the middle school teaching, has been widely used in the field of mathematics. This paper describes the background,concepts and the applications of average value inequality.And the applications include proof of other inequalities, seeking variable and the value ranges.And sums up the methods in solving average value inequality problems, in order to improve problem-solving skills.
毕业论文关键词：均值不等式； 概念； 证明； 应用
Keyword: average value inequality; concept; proof; application
目 录
1、背景 4
2、概念 4
3、应用 5
3.1利用均值不等式证明不等式 5
3.1.1整体代换“1” 5
3.1.2放缩法 5
3.1.3累加法 6
3.1.4配凑法 6
3.2利用均值不等式求变量的取值范围 7
3.2.1消元 7
3.2.2构造 8
3.2.3分离 8
3.2.4结合函数 的单调性 9
3.3利用均值不等式求最值 10
3.3.1添、减项 10
3.3.2换元 11
3.3.3平方 11
3.3.4配系数 12
3.3.5整体代换 12
4、结论 13
1、背景
在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多. 匡继昌在《一般不等式研究在中国的新发展》[1]中帮我们回顾了20世纪80年代以来不等式研究的发展。 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起,东欧国家有一个较大的研究群体,特别是原南斯拉夫国家。
直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.历史上,华人数学家在不等式领域做出过重要贡献,包括华罗庚、徐利治、王兴华等老一代数学家。最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域,他们在相关方面做出了独特的贡献,引起国内外同行的注意和重视。
20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。20世纪80年代杨路等教授--几何不等式、王挽澜教授--代数不等式、祁锋教授及其所领导的研究群体--平均不等式均作出伟大的研究贡献。而胡克教授--分析不等式，于1981年发表在《中国科学》上的论文《一个不等式及其若干应用》，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为“一个杰出的非凡的新的不等式”，现在称之为胡克(HK)不等式。胡克教授对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究。
然而不等式的分支很广，本文主要研究均值不等式。均值不等式作为数学领域中的一个积极重要的不等式，在几何、代数等方具有广泛的应用。它经常扮演桥梁的作用，来证明其他的不等式。如果在中学数学不等式证明中,对有些不等式能适时地引入均值不等式，可以简化解题过程, 起到事半功倍的作用。另外均值不等式也是高等数学中的重要不等式之一，它在数学的许多分支（如泛函分析、数理方程等）都有广泛应用，同时它具有多种特殊形式及推广形式，其证明方法也较多【1】。特别是在解决不等式证明和条件求极值等问题时，均值不等式已成为我们必不可少的一个工具。