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摘 要从小学一年级最简单的1<2开始，学生已经开始接触不等式.由不等式的解法到不等式的证明再到均值不等式、柯西不等式等重要不等式的应用，不等式在学习生涯中占据了很大一个比例.同样的函数也是我们在学习生涯中接触较为广泛的知识，它贯穿于我们数学学习的各个知识点。然而，对于有些不等式，直接进行证明是比较困难的，但用函数性质去证明却相对容易得多。而函数作为整个数学课程的轴线，可以将不同知识点的不等式证明问题统一转化到函数性质研究的问题上，用函数的思想方法来解决。因此借助函数的性质证明不等式是一种重要的途径和方法，对不等式的证明有较强的指导作用和实用意义。本文主要以函数为切入点，具体利用函数的最值、凹凸性和单调性来证明不等式,探究了辅助函数的构造.47677
The students have already learned Inequality from the easiest one 1<2 in Grade 1.From inequality’s solution to its proof, followed by the application of Average inequality and Cauchy inequality, it reveals that inequality plays an important role in study. The function is also a wide range of knowledge, which is in contact with our study of life and goes through our study of mathematics. For some inequalities, direct proof is more difficult. However，it is relatively much easier to make use of the properties of the function to prove the them. Function as the basis of the whole mathematics course, you can prove the inequality issue of unification of different knowledge transformed into a function of the nature of the study, with the function of thinking to solve. Therefore, the function of the nature of the aid is an important proof of inequality ways and means to prove that inequality has a strong role in guiding and practical significance.This article takes functions as the breach, using its characters, like the value to build the new inequality and researching the foundation of inequality.
毕业论文关键词：函数； 性质； 构造
Keyword: function； character； construct
目 录
0 引言4
1 函数的相关定义及性质4
1.1 函数的凹凸性4
1.2函数的最值5
1.3函数的单调性5
2 不等式的证明6
2.1 利用函数的凹凸性证明不等式6
2.2利用函数的单调性证明不等式12
结论19
参考文献19
致谢20
引言
不等式的性质在各种数学考试中很难单独成题，常常与函数的多种性质相互渗透在一起，形成数学考试命题的一大特色和亮点。在不等式与函数相结合的综合题中，其考查点往往是函数，要解决这类问题，用传统的解不等式的方法难以奏效，本文通过运用函数的最值、凹凸性和单调性构造辅助函数证明不等式来说明，在解决某些不等式时，利用函数的相关性质进行解决可以达到化繁为简、化难为易的效果。
用函数来认识不等式，一类为同一函数的函数值不等时所满足的关系式，另一类为两个函数其函数值不等时所满足的关系式。于是，不等式中的有关综合问题常常可构造辅助函数，利用同一函数的性质和图象或利用两函数位置关系简化求解。深入挖掘并充分利用函数的性质可以大大简化解题过程。利用函数的相关性质构造辅助函数可以作为解决不等式问题的有力工具。如利用函数图形的凹凸性，证明不等式。从凹凸函数原始定义出发，导出其等价的解析不等式。同时从凹凸函数的几何特征导出另一个与凹凸函数原始定义等价的解析不等式。然后利用所得不等式来推导一些常用的不等式，提供了一种不等式证明的技巧。利用函数的单调性、周期性等性质在不等式中应用很广泛，通过下面这些问题的分析，不但可以进一步巩固函数的性质，而且可以提高学生解决不等式问题的能力。下面首先对函数的凹凸性、最值及单调性进行定义，并给出性质。