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所以 是Cauchy列,从而 收敛.
3、不动点定理在数列中的应用
在高考试题中，数列所对应函数的不动点收敛问题，我们常可以用单调性再结合数学归纳法的方法来解决.“不动点”虽然不是中学教材的的内容虽，更不是高考大纲的要求，但在函数迭代、方程、数列、解析几何中都有重要的应用价值，甚至出现将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题.不动点定理的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.所以在历年的高考中经常可以看到看到“不动点”的影子.
在学生平时解题中，主要是要求用“不动点”的方法求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.
3.1 求数列的通项公式
定理4[5] 已知数列 满足 ,其中 ，设 是 唯一的不动点，则数列 是一个等差数列.
证明 因为 是 唯一的不动点，所以 是方程 ，亦即 是一元二次方程 的唯一解.得 . 所以
把 代入上式，得:（1）
令 ，可得数列 是一个等差数列.
在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列 的首项，数列的递推关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，但通过不定点定理，可以大大降低此类问题的难度.