三、 数形结合在中学教学中的运用
数形结合是中学数学学习过程中一种重要的数学思想方法,也是解决数学难题的一个得力工具。利用数形结合这一重要思想来解决中高考中的难题,将抽象的数学言语与直观图形相相互结合起来,在思维路径得到优化的同时,思维过程也获得了简化。作为中学数学中的一个重要思想,其近年来在各地的数学中高考中也频频出现,可谓是一大热门解题思想。在中高考数学解题中基本上都能看到数形结合思想的踪影。下面就数形结合思想在数轴问题、方程和不等式、线性规划、解析几何中的应用做一个系统的分析。
(一)、与数轴结合的问题
数学结合,故要有数也要有形,数轴就是一直中学数学中十分常见又很基础的数与形结合的载体。从所在数轴上的位置就可以判断一个实数的取值范围,同时在解决含绝对值的代数式化简和计算的问题时,利用数轴进行分析是中学生比较常用的方法。结合数轴,我们来简单探讨一下。
1. 利用数轴形象地表示有理数
例1:在数轴上表示满足 中的整数 。分析:结合数轴,直观反映起取值范围。因此, 可以取 。
2. 利用数轴直观地解释相反数例2:如果数轴上点 到原点的距离为3,点 到原点的距离为5,那么 两点的距离为 。
分析:根据题意,将点表示在数轴上,就很直观的可以看到情况的多样性,点 为 ,点 为 ,
则距离有四种情况,但最终答案只有两个,分别为 。
3. 利用数轴解决与绝对值有关的问题
例3:有理数 在数字上的位置如图所示,式子 的化简结果为( )。
分析:通过题目所给出的图示,可以判断数字的正负极其大小,然后针对性的去绝对值,就可以得到结果为 。
(二)、利用数形结合思想解决方程和不等式问题
1.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题.
通过 的相互转化,利用函数 的图象直观解决问题.如:
例4:如果方程 的两个实根在方程 的两实根之间,试求 与 应满足的关系式.
分析:我们画一下二次函数 , 的草图(如下图),这两个函数图像的共同点是开口向上