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常数变易法具体的使用过程其实很通俗易懂,源^自#751^文/论`文]网[www.751com.cn .只需将齐次方程通解中的常数 变成 ,然后代入原方程求出 ,那么此时原方程的通解也就求出来了.对于解决某些微分方程问题,它可以化繁为简,具有很神奇的贡献.
许多研究学者已经对常数变易法做了细致的研究,本文就是在参考众多学者的文献的基础上完成的.根据文献[1]-[5],本文对常数变易法进行了详细的解释;接着查阅文献[6]-[13],汇总了常数变易法在线性微分方程中的应用,并给出相应例题;最后参考文献[14]-[17],对常数变易法做了简单推广.
1.常数变易法的解释
常数变易法减化了解决一些微分方程问题的步骤,省去很多复杂的过程 .我们在课本上看到的只有它的结论及结论的使用,但至于它是如何被推导出来的，我们并不知道.在使用这一结论的过程中，我们会发现这个方法很巧妙,但会让人觉得太突然了.大家不免会有这样的疑问 :为什么把任意常数 变易为待定函数 就是原方程的形式解呢?为解决这个疑问,我从下面几个过程分析一下.
对于一阶微分方程:
,
根据我们之前学的解微分方程的方法,对于 式最常用的思路是“变量分离”,那么,我们如何才能将 式中的 和 分离出来呢?
首先:直接分离
将 式变形一下得:
,
观察 式,该式右端仍然含有 ,故 不可能被单独分离到左边,故这样直接分离不可以.那么如果令 ,即 ,将它代 式得
观察 式可以发现, 也不能单独分离到左边,因此这个方法也行不通.但注意,如果在分离变量过程中,我们发现只有某一项不符合分离变量的效果，那么试想如果这项为零,则问题就解决了.比如,如果我们让 中的 ,那么 变为 ,两边积分可求通解;再比如,如果我们令 中的 ,则 变为 ,两边积分也可解得它的通解.然而这些都不太可能,因为上面的 和 只有在特殊情况下才能求得原方程的通解,所以不具有一般性.但是,想一下,我们能不能构造出一个新的函数,这个新函数刚好使得原方程中不能变量分离的那一项为零,那么问题也就解决了.
进一步:变量代换法
解决常微分方程的方法有很多,其中变量代换就是常用的方法之一,但要构造一个变量代换公式也是不容易的.然而,很巧的是, （其中 和 是关于 的函数）就是可以把不能分离的一项为零的变量代换函数.下面我们就令 （其中 和 是关于 的函数）.
将 代入 式得
.
下面如果我们仍用变量分离法来求解原方程的解,观察 式,其中有一项 是不能把 单独分离出来的.试想如果这一项为零,则问题就解决了.观察该项,则 .因为 是可以变量分离的,解得
.
接下来求 :
把 式代入 式可得 ,
即则,
此时, 和 已经都解出来了,则
这里 .
再进一步:常数变易法
我们再来看一下上面求v的微分方程 .它实际上是求 当 时的齐次方程,则
,
由上面知,因为 ,那么 式并不是我们所要求的原方程的解 ,它仅是 中的 那一部分.
我们把 和 比较
试想如果把 式中的那个 变成 ,再把 求解出来，一切就解决了.所谓的“常数变易法”就是这么来的.其实,由上面分析,我们可以发现,常数变易法是变量代换的偷懒版.