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2．常数变易法的应用
2.1常数变易法和一阶线性微分方程
2.1.1预备知识
一阶线性微分方程
,
其中 和 都是连续函数.
如果 ,把方程 叫做一阶非齐次线性微分方程.
如果 ,方程 变成
,
叫做一阶齐次线性微分方程.
对于方程 它是变量分离方程,通解为
.
2.1.2用常数变易法解一阶非齐次线性微分方程
显然 式不是 的解.
设方程 有形如
的解. 将 两边微分,得
,
将它代入方程 得
,
即
,
则两边积分可得
,
其中 为任意常数.
代入 ,则方程 通解为
.
2.1.3例题演练
例1 求方程 的通解.
解 原方程变形为
,
方程 对应的齐次方程为
.
将方程 分离变量得
,
它的通解为
.
设方程 的解形如 .
将它代入方程 ,得
.
则有 其中 是任意常数.
因此方程 的通解为
,
此解即为原方程的通解.
2.2 高阶微分方程和常数变易法