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    引理1 设      实数,那么

      可以找到一个大于或等于零的整数 ,使得 ,

    (   的 位不足近似, 代表的是 的 位过剩近似.)

    引理2 设 ,那么仅当 有上(下)确界的时候,非空数集 有上(下)确界.

    证 必要性:设 ,下证 .

      , ,使 .又因 ,故 ;

     由 知, ,使 ,从而 ,使 

    综合 , ,可知 .

    充分性:设 ,根据  上面的必要性的证明知,

    确界原理:设非空的数集 是有上(下)界的,那么我们可以得到 是一定有上(下)确界的.

    证明:现在我们只给出有下确界的情况的证明,据此可以类似给出有上确界的证明.

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