1.2常微分方程的初值问题概括
无论在科学研究还是生活方面,遇到的问题中常包含微分方程问题,其初值问题概括:
(1-1)
这里的 是一个实值的连续函数,并且关于 满足Lipschitz条件:即存在Lipschitz常数 ,对任意 ,有:
,
此时上述的初值问题(1-1)有唯一解[1].
1.3数值解法中的离散化思想
对于初值问题(1-1)求解出来的解 ,可以看出是一个连续函数,并且这个函数是关于变量 的,此时将初值问题(1-1)归纳为一个连续问题,现要将此问题离散化,在区间 上找到一系列离散点,求出这些点的值,初值问题的精确解就可说是计算出来的近似值.不妨设这一系列的点为 , ,…, 有 ,根据条件我们可以算出 的近似值: , ,… .在这为计算方便我们通常取 , ,…, 满足这样的条件:
,
这里的 称为步长.上述这种求出近似解的离散化过程我们通常用的有三种方法—化微商为差商,泰勒级数展开法,数值积分法.
1.3.1化微商为差商
要想得到点 处的微商 ,计算出点 处的差商取代即可,即: .从而可以将初值问题(1-1)进行转化,得到:
(1-2)
精确解 在点 处的近似解就可以用上式里面的 表达.
1.3.2泰勒级数展开法
在一点 附近运用泰勒展式将其展开,得到:
(1-3)
根据微分方程 ,可以解出各阶导数 在 处的值,(1-3)中的 取值为正整数.
1.3.3数值积分法
在区间 上关于微分方程 两边对 进行求积分,得到:
,
此时初值问题(1-1)就可以化为:
要求出初值问题(1-1)的近似解,对上述积分求解问题运用数学分析里面的数值积分方法即可求得.
2 常微分方程的几种常用数值解法
方程发展过程中总结了很多方法来求解微分方程,常数变异法,变量代换法可以很快解决一些书本上或生活中的简单的常微分方程,单步法,多步法则用来求解那些很难得出精确解的微分方程的初值问题.
2.1单步法
2.1.1欧拉法
研究方程的解法往往都是由稍微简单的一类方程入手,源!自%751>文)论(文]网[www.751com.cn,得到基础解法,如本文的微分方程的初值问题研究中先得到了欧拉折线法,之后研究得到的其余数值解法就是在欧拉法基础之上得到的.
欧拉法求解过程是:先选择一个步长 ,选择 区间上一点 为切点,作出点 的切线,计算出切线的斜率 ,用 取代 ,得到切线方程:
,
用上式来替换解函数,可以近似计算出点 的值: ,又得到一个新的点 ,继续在点 处作该点的切线,求出切线函数,依次递推,得到:
(2-1)
以上求解出递推公式的方法就是欧拉法,在求解过程中连接每一次得到的切线段得到一个函数,最终得到的图像是一个折现图,故叫欧拉折线.当选择的步长越小,直到接近于0时,折线就会越接近于我们得到的递推式子(2-1)的解函数.最简单的数值解法-欧拉法,得到的递推公式(2-1)也就很简单,是一阶显式一步法,这就决定欧拉法得到的近似解的精度不是很高,后续研究重点即要提升精确度.