拟凸函数的性质及应用(2)

菜单

3.6正则拟凸函数20

3.7预不变拟凸函数21

4拟凸函数的应用24

4.1拟凸函数在经济学中的应用24

4.2预不变拟凸函数在规划中的应用31

结论32

致谢33

参考文献34
1 绪论我们主要研究拟凸函数的性质及其应用。通过文献的查阅我们知道从单调函数中，凹函数，线性函数和凸函数的图形上看，它们都满足满足拟凸函数的定义，也就是拟凸函数可以是凹函数，也可以是凸函数，拟凸函数是一种性质特殊的函数，拟凸函数在数学研究中作为一个分支进行研究，在函数的研究领域中拥有着非常重要的意义。截止到到目前为止，拟凸函数的研究已经从定义的研究开始转向函数凸性的研究，最终到凸性的应用方面的研究。函数的凹凸性，在数学分析的许多方面都有着非常重要的应用。尤其是在对于不等式的证明，推导以及最优化方法还有数据分析方面，拟凸函数与凸函数有着十分重要的应用和地位。在查阅文献以及以往学习的知识我们不难发现，一些不等式的证明在运用到凸性之后就显得更加容易证明，而且方法也更加简便。也就是说利用函数的凸性去证明不等式更加的方便。那么拟凸函数的凸性是否也具有相似的证明结论或者运用拟凸函数是否会获得一些与凸函数相似的性质或者不同的性质。既然如此，我们知道了凸函数在经济学科中有着重要地位和非凡的意义，那么我怕们将要研究的拟凸函数会不会比凸函数更加的适合应用在经济学科中？
所以，首先我们应首先着重研究以及了解凸函数，拟凸函数之间的区别联系以及它们的定义与性质。比如我们要了解许多的预备知识，比如凸函数和拟凸函数的判别条件是什么？凸函数与拟凸函数有什么本质上的区别？拟凸函数的连续性和可微性如何？拟凸哈神女湖在生活中的应用有什么等等。在探寻拟凸函数的时候，我们要分为两个方面进行研究，分别是拟凸函数在数学和经济学方面的应用。在数学专业方面，我们要研究一下拟凸函数和一些知名不等式的关系，比如Hadamard 不等式。看看运用于拟凸函数的证明方法与传统方法相比哪一个更为简洁明了；在经济学专业方面，我们主要介绍了拟凸函数的一些发展，比如说拟凸函数在风险度量,最优问题和在投资决策中起到了的作用以及意义。那么咱探寻这些问题的时候我们不妨运用类比的方法。像凸函数一样，拟凸函数也有着广泛的应用。相较于凸函数而言，拟凸函数的要求更加的宽泛，这也就意着拟凸函数比凸函数有着更加广泛的应用。那么凸函数可以解决的问题拟凸函数一定可以解决。这样的话既然拟凸函数比凸函数要求的更加宽泛，那么一些凸函数不能或者不能很好解决的一些应用问题，拟凸函数说不定可以很好的解决。在经济学中的许多投资决策都和数学有关，这些我们在大学阶段的选修课已经涉及，我们可以很清楚的认识到数学和经济学的关系是非常紧密的，因为经济学中许多的决策性问题通过数学知识计算出相应的结果来进行决策和判断的，所以拟凸函数的产生给经济学家决定策略和分析以往的数据提供了有力的依据 ] 28 [。拟凸函数有着很广泛的应用，许多数学家都在研究这个方面的函数。尤其是凸性和广义凸性的研究，它是最优化的一个重要应用方面，是当前运筹学，最优化研究中的一个大的研究方向。在 20 世纪 60 年代末，函数的凸性的概念已经被定义的非常的完善，首先是Mangasarian[1]他把凸函数的限制进行了削弱，把它的定义推广到了拟凸函数与伪凸函数，后来 Weir在《世界报》发表了他是如何把函数的凸性定义进一步推广到预不变凸和广义半予不变凸函数。20世纪末端，尤内斯在他的文献中写到：通过削弱凸集与凸函数的定义条件这一方法对凸性和凸集进行了推广，定义了E 一凸集、E 一凸函数等概念，并且得出了相关结论，然后继续提出 E 一凸规划问题并以此为研究对象进行了详细研究与探讨。随后 Yang[q]和Chen[s]又分别在杂志JOTA和JMAA 上发表了他们关于 E 一凸函数方面的最新研究成果，其中 Chen 创新的提出了半 E 一凸函数和拟半 E 一凸函数等一系列概念，得出了许多重要结论[32]．在2011年林全文和余元洪[13]研究了关于拟凸函数的的Hadamard型不等式：如果 R I f  :称为拟凸函数，如果对一切 I y x,  和 ] 1 , 0 [   有：)} ( ), ( max{ ) ) 1 ( ( y f x f y x f      ，这个时候记为 ) (I QC f  。[13]Zang,I 与 Avriel，M 在文献[32]中发现了了拟凸函数中一个十分重要的条件：如果一个拟凸函数 level set 的映像是满足下半连续性质的的那么在这个拟凸函数中局部区域的最小值就是全局中的最小值。[22]基于这个特点，许多数学家通过研究在什么样条件下的什么样的函数具有这种局部整体性的特点。