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2.微分中值定理的证明
微分中值定理的证明方法很多，下面我们从最简单的罗尔定理出发，逐次引出拉格朗日中值定理和柯西中值定理及它们的证明思想.
2.1罗尔定理及其证明
定理2.1.1 (罗尔定理)若函数 满足如下条件：
(1) 在闭区间 上连续；
(2) 在开区间( )上可导；
(3) ，
则至少存在一点 ，使得 .
引理 1 (费马定理)设函数 在点 的某领域上有定义，且在点 可导.若点 为 的极值点，则必有
.
证 因为 在 上连续，所以有最大值与最小值，分别用 与 表示，现分两种情况来讨论：
(1) 若 ,则 在 上必为常数，结论显然成立.
(2) 若 ,则因 ，从而使得最大值 与最小值 至少有一个在( )上的某点 处取得，从而 是 的极值点.由条件(2)， 在点 处可导，故由引理1推知
.
2.2拉格朗日中值定理及其证明
罗尔定理的证明是用闭区间上连续函数的性质完成的，比较简单，直观.但在罗尔定理中，条件 比较苛刻，绝大多数函数都不满足这一条，这极大地限制了罗尔定理的应用，我们会有这样的猜想：如果函数只满足前两条，不满足第三条会怎样呢？于是就有了下面的拉格朗日中值定理.