椭圆切割线问题及教学策略的探究

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摘要-Ⅰ

Abstract--Ⅱ

目录-Ⅲ

图清单-Ⅳ

1 绪论-1

2 预备知识-2

2.1 椭圆的第一定义2

2.2 椭圆的第二定义2

2.3 一种直线与椭圆位置的判断方法2

3 真题分析3

3.1 2012年江苏高考题-3

3.2 2015年徐州高考信息卷7

3.3 2014年浙江高考题--10

4 教学策略--13

5 结论--15

参考文献16

致谢-17

摘要-Ⅰ

Abstract--Ⅱ

目录-Ⅲ

图清单-Ⅳ

1 绪论-1

2 预备知识-2

2.1 椭圆的第一定义2

2.2 椭圆的第二定义2

2.3 一种直线与椭圆位置的判断方法2

3 真题分析3

3.1 2012年江苏高考题-3

3.2 2015年徐州高考信息卷7

3.3 2014年浙江高考题--10

4 教学策略--13

5 结论--15

参考文献16

致谢-171 绪论在高中数学选修内容中，圆锥曲线这一个章节极其重要，椭圆作为重要的圆锥曲线之一同时也是高考的常考内容. 在简单题中，通常考查的是与椭圆性质相关的知识点，而在一些比较复杂的综合题中则要考查椭圆知识与其他知识的交汇，在高考中大多以中上难度或者压轴题的形式出现.在本文中主要对椭圆问题中的切割线问题进行了一定的探究，并结合探究过程中产生的一些思考和教育教学的经历，在椭圆这一节的教学策略上提出一点看法.在新授课的过程中，学生已经在脑海中建构起了椭圆这一几何概念，在一定引导后可以根据直线与圆的位置关系得出直线与椭圆的三种位置关系，即：直线与椭圆相切，直线与椭圆相交和直线与相离. 因此，我们可以把与椭圆相关的直线分为切线、割线以及椭圆外的直线. 本文主要讨论的是椭圆的切线和割线. 位置关系的判断主要通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组，类比直线与圆中所学的知识，进行消元后，可以得到一个关于x 或y 的一元二次方程，随后可以借助韦达定理，并根据该一元二次方程中根的判别式的值与0 的大小关系来判断.在解决椭圆中切割线问题时，我们通常要运用数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等解决数学问题的思想. 其中，笔者的看法是，在众多方法中，最能够便捷解决几何问题的方法是代数方法，也就是所说的解析几何，将传统的几何问题转化为代数问题，通过代数的运算来解决几何问题.同时，直线与椭圆的位置关系也是新课程改革后教材中的重要内容之一，也是整个中学数学中代数部分和几何部分进行衔接的重要知识模块. 因而这一部分的内容，在实践新课程理念、培养学生的抽象逻辑思维能力和具体运算能力的高中数学教学中，有着不可替代的地位.由于韦达定理的介入，大多数的椭圆切割线问题可以从直线与椭圆的位置关系这一角度来思考并寻求解题思路，从而得到解决. 这一方法也成为学生在解决这类问题时的首选方法，但随之而来的就是学生在碰到这类题目时放弃了从其他角度的思考解决问题的机会. 但是在一部分情况下，也就是题中已有或隐藏的未知数个数过多时，由于在联立方程组解答时需要对所得解进行一定处理，学生会觉得运算量过大，运算过程过于复杂，从而出现种种问题. 其实，在一些情况下，如果我们从椭圆的定义出发来思考问题，运用焦点弦、焦半径等椭圆中的基本元素来解决问题反而会起到奇效，起到优化运算、提高准确率的效果.而针对大多数学生都倾向于使用的直线与椭圆的位置关系方法，在具体的解题过程中，设未知的角度不同，也会带来一定的运算和解题思路方面的不同，例如在椭圆与直线相割交于两点时，是设直线的斜率还是设交点的坐标上，就很容易出现偏差.2 预备知识2.1 椭圆的第一定义平面内与两个定点 1 F 、 2 F 的距离的和等于常数（大于 2 1F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.2.2 椭圆的第二定义平面上到定点 1 F （或 2 F ）距离与到定直线 1 l （或 2 l ）间距离之比为常数e 的点的集合. （定点不在定直线上时，e 为小于 1 的正数. 这个定点称为为椭圆的焦点，这条直线直线称为椭圆的准线. ）2.3 一种直线与椭圆位置的判断方法通过直线与椭圆的交点个数来判断直线与椭圆的位置关系的方法例如：已知直线 n mx y l   : 与椭圆 1 :2222 byaxC ，通过 n m, 与 b a, 的关系来判断直线与椭圆的位置关系.联立直线l 与椭圆C 的方程组、消去y 后得到关于x 的一元二次方程0 2 ) (2 2 2 2 2 2 2 2 2     b a n a x mna x b m a ，运用韦达定理判断根x 的个数，) )( ( 4 ) 2 (2 2 2 2 2 2 2 2 2b a n a b m a mna     为正数时，方程有两个不同的根，直线与椭圆有两个交点，即直线与椭圆相交；为负数时，方程没有根，直线与椭圆没有交点，即直线与椭圆相离；为零时，方程有两个相同的根，直线与椭圆只有一个交点，即直线与椭圆相切.