在运用反证法证题时,必须认真考察原命题的结论,并找出结论反面的所有情况,因为结论的反面可能只有一种情况,也可能有多种情况。因此,反证法分为归谬法和穷举法两种.
归谬法:当结论的反面只有一种情况时,只要否定这一情况就能证明原命题结论的正确,这种反证法叫归谬法.它的证明简洁、优美,又极为深刻,曾为推动数学的发展做出过巨大的贡献,常被人们作为数学定理的典范.著名的英国数学家G.H.Hardy对于这种证明方法做出过一个很好的评论,在棋类比赛中,经常采用一种策略是“弃子取势”.他说,归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略,棋手牺牲的是几个棋子,而数学家可以牺牲的却是整个一盘棋,归谬法就作为一种可以想象的最了不起的一种策略而产生的.当然这里的想象是以逻辑为基础的,是有理有据的.
穷举法:当结论的反面有多种情况时,必须一一予以否定才能证明原命题的正确,这种反证法叫穷举法.
5 反证法的使用方法
通常模式为:“否定→推理→否定”.即从否定结论开始,经过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是:否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立.
实施的具体步骤是:
第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;
第二步,穷举:列举出在反设下可能出现的各种情况;
第三步,归谬:把第二步所列举的各种可能情况一一引向矛盾(包括与公理、定义、定理、题设或临时的假设矛盾);