数论问题在中学数学竞赛中应用(2)

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4. 不定方程 16

4.1 不定方程的基本定义和定理 16

4.2 不定方程在中学数学竞赛中的应用 17

4.2.1. 对于求解一次不定方程 17

4.2.2. 对于求解高次不定方程 18

5. 结论 20

参考文献 21

致谢 21

引言

研究背景

历史背景

在世界上，以数为内容的竞赛有着非常悠久的历史。我国战国时期齐威王与田忌赛马，实则就是一种对策论思想的比赛。到了16、17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，有时还举行一些公开的比赛，赛题中就有著名的费尔玛大定理：在整数 n≥3 时，方程 x^n+y^n=z^n 没有正整数解，这其实就是数论问题。

1894年，数理学会通过举行数学竞赛的决议，试题以奥妙而奇特的形式，一般都有富有创新点的解答。后来，数学竞赛在东欧各国蓬勃开展，前苏联把它命名为“数学奥林匹克”，认为它与体育竞赛一样都崇尚奥林匹克精神。1959年7月，T.Roman教授策划了在罗马尼亚古都举行的第一届国际数学奥林匹克（简称IMO），拉开了国际数学竞赛的帷幕。1991年时，IMO在中国举行，国际上称那一年位数论年，因为6道IMO试题中有5道与数论有关，可见初等数论在奥林匹克数学竞赛中占有愈来愈重要的地位。

现实背景

我国参加国际数学竞赛的时间虽然只有30年，却获得了令人骄傲的成绩。因此也引起了全国许多专家、教授及研究人员的关注，关于数学竞赛的专业杂志、研究论文、专著和书籍也是五花八门、层出不穷。笔者根据查找的文献资料，了解到在被誉为“世界青年智能大赛”的国际数学奥林匹克（IMO）试题中，数论或数论相关的试题占总试题的40%左右。不仅如此，在近五届“希望杯”全国数学竞赛初一和初二的邀请赛试题中，数论问题也占有相当的比重，并且在选择、填空等各种题型中均有出现。数论已成为各类数学竞赛中的重要组成部分之一，而其解题方法和技巧在竞赛数学培训中扮演着非比寻常重要的角色，因此关注数学竞赛中的数论题型也是我们普及开展与深入探讨、研究数学竞赛时的重中之重。

国内外研究现状

数论问题作为数学的一个古老分支，是各类中学数学竞赛中的宠儿。中国奥数高级教练沈文选在编写《奥赛经典·专题系列研究》时，专门全面、系统整理了与数论相关的知识点和解题技巧，认为数论专题知识是解竞赛题不可或缺的材料，能激发解题的直觉和灵感。另外，国内外也有很多的书籍和文献资料来分类别记录中学竞赛中的数论题，且大多都是以数论的专业知识来解决。但我国的数论专家单墫教授、美国的L.C.拉森都曾指出：要提高解题能力，必须注意总结。不仅要寻找各种不同的解法，更要找出最好的解法。数学竞赛是数学素养和思维创造能力的智力竞赛而不是单纯的知识竞赛。

研究目的和内容

研究目的

数学是锻炼思维的体操，是一切科学的基础。数学的核心是问题，数学竞赛就是解决数学问题的比赛。然而古老悠久的数论在数学发展史中占据着不容忽视的一页，促进数学新分支的发展，同时它也是一门十分重要基础课，利用它就是用一种初等、朴素的方法解决数学问题。况且数论问题在当代数学竞赛中有着不可小觑的地位，学会用数轮的观点来解题刻不容缓。为此，本文拟从中学数学竞赛中的数论内容和观点出发，结合数学方法论和中学生已有的数学经验，分析和探讨中学生数学竞赛解题的思想方法和技巧。