例1(第14届“五羊杯”竞赛题)已知正整数 n 大于30,且使得 4n-1 整除 2002n,则 n 等于多少?
分析:本题属于明显需要利用整除性质来解答的。由条件 4n-1 能整除2002n,得知它们的商是一个整数,由此入手探讨得出最终的答案。
解: 因为对正整数 n,4n-1 整除 2002n,所以 2002n/(4n-1) 是整数。
而2002n/(4n-1)=(2(n+250))/(4n-1)+500,又因为4n-1是奇数,所以 (n+250)/(4n-1) 是整数。
则 (4(n+250))/(4n-1)=1+1001/(4n-1),可知 1001 能被 4n-1 整除。
因为n>30,1001=7×11×13,所以可得4n-1只能是143 。
所以n=36。
例2 (《中等数学》2007训练题) 设 x,y,a,m,n 均为正整数,且 x+y=a^m,x^2+y^2=a^n . 求 a^300 是多少位数?
分析:本题初看题干很难有求解思路,要求〖 a〗^300 的位数,就必须利用好题中x+y=a^m,x^2+y^2=a^n这两个条件,从它们入手对等式左右进行加减乘除,继而得到与整除相关的结论,最后合理运用整除的基本性质获得结果。
解: 由已知得〖 a〗^2m=x^2+y^2+2xy=a^n+2xy . ①
由题假设及式①知〖 a〗^2m>a^n . 又因为 a 是正整数,于是,2m>n .
将①两边同时除以a^n,得〖 a〗^(2m-n)=1+2xy/a^n . ②
由于式②左边为正整数,所以 a^n 能整除 2xy.